Max Çarpım Elde Etme

Bir n tamsayısı için toplamları n olan k tane sayımız olsun,

1.Bu k tane sayının herbiri tamsayı ise çarpımları en fazla kaç olabilir? (örneğin n=5 için çarpımları en fazla 2*3=6 olabilir)

2.Bu sayılar için tamsayı olma şartı aranmıyorsa çarpımları en fazla kaç olabilir? (örneğin n=5 için 2.5*2.5=6.25 olabilir)

3. 1 ve 2 nolu şıklar için sonucun değişmediği en büyük n tamsayısı nedir? (örneğin n=4  ve n=6 için 1. ve 2. şıktaki max çarpımlar eşit ve sırasıyla 4 ve 9 olmaktalar.)

Author: ZekiAdam

9 thoughts on “Max Çarpım Elde Etme

  1. yalniz ben sorunun giris cumlesinden k’nin “verili” oldugunu varsaymistim. ama orneklere bakinca, k’nin da maksimum degeri verecek sekilde “degisken” oldugu sonucu cikiyor. bu iki yoruma gore formuller degisir. ikinci durumda, k’nin secilmesi de girer devreye.

        1. Evet 1. şık için sayımızı bu şekilde parçalamamız gereklidir.

          bunu da sayımızın parçalanmasında 5 ve daha büyüğü sayılar olamayacağını
          3*2 > 3+2 diyerek gösterebiliriz.
          kalanlar içinse
          3*3 > 4*2 = 2*2*2 diyerek max 2 tane 2 (ya da 1 tan 4) olabileceğini söyleyerek de kalanların hepsinin 3 olması gerektiğini göstermiş oluruz.

  2. elim değmişken bu soruya da çözüm yazayım.

    yukardaki yorumda 1. şık için çözüm var

    biz 2. şıkkı çözelim

    n=(A1)+(A2)+…+(Ak) olsun ve amacımız
    (A1)*(A2)*…*(Ak) çarpımını max yapmak
    şimdi bu çarpımdaki herhangi 2 tane Ai ve Aj birbirinden farklı olsun
    bu durumda
    t=(Ai+Aj)/2 olsun
    ve Ai ile Aj çarpımımızdan çıkarıp yerlerine 2 tane t, ya da t^2 koyalım
    t^2>(Ai)*(Aj) olduğu açıktır , çarpımdaki sayılarımızın toplamı da değişmemiştir, demekki A1=A2=…=Ak durumunda ancak max çarpım elde edilmektedir.
    —-
    şimdi artık k bir tamsayı olmak üzere
    n=kx olduğunda x^k sayısının max değerini tespit etmeye veya bu max değere ulaşmayı sağlayan x ve k yı bulmaya çalışalım

    k nın tamsayı olma koşulu kaldırıldığında
    k=n/x olduğundan , sabit bir n için
    f(x)=(x)^(n/x) fonksiyonun max değerini inceleyelim
    türev alıp 0 a eşitlediğimizde
    f'(x)=(n/x)(x)^(n/x-1) + (x^(n/x)).(-n/(x^2)).lnx =0
    biraz çekidüzen verilince x=e olduğu çıkar , yani fonksiyonumuz max değerine x=e (doğal log. tabanı) de ulaşmaktadır.
    bu durumda
    x=n/k olduğundan yeniden k nın tamsayı olması koşuluna dönersek;
    bizim aradığımız k sayısının n/k yı e ye en yakın yapan 2 değerden biri olacağı açıktır ( alttan veya üstten yaklaşılan)

    burada sadece bu k nın tam olarak n/k yı e sayısına en yakın yapan k olduğunu söyleyip ispat adımlarını atlıycam
    örneğin n=10 için k=4 ve k=3 gibi 2 seçeneğimiz var , her ne kadar her bu şekilde üstten ve alttan e ye yaklaşırken daha yakının iyi sonuç verdiğinin gösterilmesi gerekse de k=4 için x=2.5 , k=3 için x=3.33.. olduğunda ve 2.5 e ye daha yakın olduğundan k nın 4 olduğunu söyleriz.
    (bu atladığım kısım fonksiyonumuzun konkav olmasından ve Jensen eşitsizliğinden falan faydalanılarak gösterilebilir şimdi yeterince uzun oldu daha da uzatmayalım)
    yani
    2. şıkkkımız için cevabımız
    her n sayısı için
    max çarpımımız e doğal taban olmak üzere
    k= n/e ye en yakın tam sayıyken
    (n/k)^k dır. örneğin n=25 için 25/e ~ 9,19 olduğundan k=9 dur
    max çarpımımız da (25/9)^9 olur.

    1. cozumunun girizgahina ne zamandir bir şerh dusmek istiyordum ama nasip kismet buguneymis!
      direkt t=(Ai+Aj)/2 diye baslamissin ya, bu biraz hani nereden buldun bunu oyle zirt diye hali oluyor. bunun yerine, birbirinin ayni olan iki sayiyi farklilastirmak mi hayirlidir? evetse, hangi kosullarda, ne kadar? diye baslamak ispat yontemi olarak daha dogru geliyor bana. yani a^2 ile (a-x)(a+x)’i kiyaslayabilirsin ya da farkli a ve b sayilarini (a-u)(b+u) yapip aynilastirmanin hayrini gosterebilirsin gibi gibi.

      1. Burada direk aritmetik ortalama>geometrik ortalama özelliğinden faydalandık

        yani iki sayı birbirinden farklıysa onların 2sini çıkarıp yerine 2 tane aritmetik ortalamasını koyarsak daha büyük bir çarpım elde edebiliriz demekki sonuç durumunda max çarpımı sadece hepsi eşit olan bir grupta sağlayabiliriz.

        ben daha genel yapıp
        2 değil de tüm k tane sayı için ao>go yapacaktım ama en azındn biraz daha anlaşılır olsun diye 2şer 2şer yaparak sonuçta eşitleriz demeyi yeğledim.

  3. Sorunun 3. şıkkı 2. şık çözüldükten sonra artık pek de zor değil

    2. şıktaki her sayı aynı olmak zorunda olduğuna göre ve 1. şıkta da tek sayının çarpılmasından oluşan durumlar sadece 3 için geçerli olduğundan 2. şıktaki her sayımızın 3 olduğu en büyük n sayısını belirlememiz gerekmekte.
    n=3k iken k nın çözüm olması için
    n/k sayısının e ye n/(k+1) den daha yakın olması gerektiğine göre
    3-e<e-(3k/(k+1))
    sadeleştirmeler yapılınca k<5 olduğu bulunur
    k=4 içinse n=12 çözümdür ve
    hem 1. şıkta hem 2. şıkta 81 max çarpımını verir.

Bir cevap yazın