Her n için A(n)={2,3,4,…,n} olsun. A(n) kümesi herhangi farklı 2 elemanın çarpımı bir başka 3. elemanına eşit olmayan 2 ayrık kümeye ayrılabiliyorsa n sayısı güzel sayı olsun.
örneğin n=8 ken, A(n)={2,3,4,5,6,7,8} ve bu küme {2,3,4,5,7} ile {6,8} olarak 2 ayrık kümeye ayrılabildiğinden 8 güzel bir sayıdır.
1.n=60 güzel sayı mıdır?
2.En büyük güzel sayı kaçtır?
1)60 güzel sayı değildir 48 bozar olayı
2)47 olur en fazla
şimdi 48 sayısını ele alalım bunun çarpanlarının
(2,3,4,6,8,12,16,18,24) olduğu açıktır bunları 2 ayrı küme yapmayı deneyin olmadığını görürsünüz .yapabiliyorsanız bn yanılmış oluyorum
ama çözümünüzüde yazın
şimdi 48 in ne özelliği var ve niye ara değerlerle uğraşmadık
60 a kadar sayılar içinde en çok böleni olan sayıdır
soru değişik tarzda çözüldü ama diğer ara elemanlardan tehdit gelmiyor
bunu karalama yaparak görün
*soruya bir başlangıç yaptım.tartışmaya açılmış olsun
B(48)={2,3,4,5,9,13,17,19,23,29,31,37,42,48}
c(48)={
6,7,8,10,11,12,14,15,16,18,20,21,22,
24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,
39,40,41,43,44,45,46,47}
olsun
eğer yanlış bişeyler yapmadıysam
b(48) u c(48) = a(48)
ve b ve c deki herhangi iki elemanın çarpımı sonucu oluşan sayı aynı kümenin elemanı değiller.
yani 48 in güzel bir sayı olduğunu söyleyebiliriz.
herhangi bir sayı güzel değilse onun üstündeki hiçbir sayı güzel sayı değildir ( bu çok açık) ama onun 1 düşüğünün güzel olmayacağı sadece bu nedenle söylenemez,
başka deyişle 150 nin güzel sayı olmadığı gözterildiğinde her n>150 için artık n’in güzel olmadığı ispatlanmıştır ama 149 hakkında yorum yapılamaz.
bu nedenle eğer en büyük güzel sayının 47 olduğu söylenecekse 47 sayısı için B ve C kümeleri oluşturulmalıdır. aksi halde 48 için oluşturulamıyo olması (ki oluşturulabiliniyor) en büyük güzel sayının 47 olmasını doğurmaz.
Edit:2 ayrı küme derken burdaki kurala uygun 2 küme kastettiğim herhalde açıktır
Bu sorunun çözümünü de yazmak istiyorum
1.60 güzel sayıdır
2.en büyük güzel sayı 95 tir
96 (ve dolayısıyla 96 dan büyük sayılar) için böyle 2 ayrık küme oluşturulamayacağını gösterelim.
aslında buradan sonrası aytmatowx arkadaşımızın yapmaya çalıştığı muhtemelen de ufak bişeyi gözden kaçırdığı için yanlış sonuca vardığı mantıkla çözülecek.
96 nın çarpanları = {2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96}
şimdi 2,3 ve 4 sayılarının 2 kümeye dağılma durumlarını inceleyelim.
a)b={2,3,4…} olsun
6,8,12 c kümesinde olmalı
bu durumda 48 ve 96 b kümesinde olmalı , 2*48=96 çelişki
b)b={2,3,…}, c={4,…} olsun
6 c kümesinde olmalı, c={4,6,…}
24 b kümesinde olmalı b={2,3,24,…}
8 ve 12 c kümesinde olmalı c={4,6,8,12…}
32,48 ve 96 b kümesinde olmalı , 2*48=96 çelişki
c)b={2,4,…}, c={3,…} olsun
8 c kümesinde olmalı c={3,8,…}
24 b kümesinde olmalı b={2,4,24,…}
6,12,48,96 c kümesinde olmalı 6*8=48 çelişki
d)son olarak b={2,…} ve c={3,4,…} olsun
12 b kümesinde olmalıdır b={2,12,…}
6 ve 24 c kümesinde olmalıdır 4*6=24 çelişki
yani 96 ve daha büyük sayılar güzel olamazlar çünkü 96 nın çarpanları soruda istenen şekilde 2 ayrık kümeye ayrılamazlar.
———-
biz sadece 96 ve üstüdeki sayıların olmayacağını gösterdik örneğin 80 için çözüm olduğunu göstermedik. yani 95 için de 2 tane istenen küme ayırmamız gerekmektedir.
ama bunu da yukarda yazdığım 48 için ayrılmış 2 kümenin üstünden rahatça yapabiliriz. yapılamadığı görülürse başka bir örnek verebilirim , birçok değişik şekilde ayrılabileceğini söyleyebilirim.