Basit Bir Hacim Problemi

Küre şeklinde içi dolu bir tahta parçasından simetri doğrusu kürenin merkezinden geçen silindirik bir parça oyuluyor. Oluşan silindirik boşluğun yüksekliği 10cm ise tahtanın kalan hacmi ne kadardır?
Res

Not: Çok ünlü ve ilginç bir sorudur. Uğraşmanızı tavsiye ederim.

Author: ZekiAdam

19 thoughts on “Basit Bir Hacim Problemi

  1. Çözümü yaparak buldum ama burada harflerle anlatamıyorum.
    Kürenin yarıçapı:10kök3/3
    Silindirin üst taraflarındaki 2 küp parçası hacmi ve silindir hacmini küpün hacminden çıkartmak için 2 küp parçası hacmini buluruz.
    Küp hacmi-2 silindir üstü kip parçası-silindir hacmi=istenen değer
    Fakat sonuç tam çıksın diyerekten Pi=3,14285 ve kök3=1,73205 aldım
    Toplam küre hacmi:806,45531 cm3
    Kalan küre hacmi=326,1362 cm3’tür.

    1. ışlem hatası var üstteki cevapta affedersiniz. şimdi kürenin yarıçapı r, silindirinki de r olsun. silindirin hacmi 10.pi.r^2. integralden hacim hesabıyla -5 ten 5 e kadar alırsak integrali, kürenin hacmi de 10.pi.r^2-250.pi/3 yapıyor. kürenin hacminden silindirinkini çıkarırsak

      10.pi.r^2 – 250.pi/3 – 10.pi.r^2 olur

  2. Önce kürenin hacmini bulmak için küre çapını hesaplıyalım. İçinden geçen silindirin boyu 10 cm olduğuna göre kürenin çapı ;

    çap = Karekökü((5’in karesi) + (5’in karesi)) = (Kök 50)

    Küre hacmi = (4/3) x pi x r3 = (4/3) x 3,14 x 50 x (Kök 50) =1480,96 cm3

    Silindirin hcmi = pi x r2 x h = 3,14 x 5 x 5 x 10 =785,4 cm3

    Küre hacmini silindirin hacminden çıkartırsak

    695,56 cm3 olarak sonucu buluruz.

    1. Nihayet çözümler işlenmiş, ben şöyle düşündüm kürenin çapını ve silindirin yüksekliğini belirleyen şey 10 cm yükseklik, küre ne kadar büyük olursa olsun silindirin çapıda bu 10 cm i sağlamak için büyüyecek, bu çaplar büyüdükçe geriye kalan küre parçasının et kalınlığı azalacak,
      yani hacim sürekli sabit kalıyor:
      o halde minimum küre çapını alırsak yani 10 cm, silindir bu kürede bi doğru parçası şeklinde kalacak..

      yani çözüö çapı 10 br olan kürenin hacmiyle eşdeğerdir.
      500pi/3

  3. Kürenin yarıçapını r yerine 5,7,5kök3 falan gibi sayılar bulanlar nasıl bulduklarını açıklayabilirler mi

    sonuçta küre yarıçapı r , silindir yarıçapı r ise tek bildiğimiz
    r²=r²+5²

    şimdi yorum yazarken gördüm karadanadam arkadaşımız soruyu çözmüş diyebiliriz, bi de üstüne her durum için bunun geçerli olduğunu hacim hesabıyla gösterirse olur bu iş . orası da hamallık kısmı kimse yapmazsa bi ara ben yaparım

  4. Arkadslar galıba sanırm 825/2 gbı bır sonuc cıkardım.
    4/3 pı r(3)=4/3 x3x5x5x5=4×125=600
    pıx r(2) xh =3×5/2×10=375/2
    kurenın hacmınden sılınıdırın hacmını cıkarırsak
    600-375/2=825/2 galıba sanırım :)

  5. Tüm noktaları birleştirince düzgün altıgen oluşuyo ordan da çember açı ilişkileriyle küre yarıçapı10 bölü kök 3 silindirin yarıçapıysa 5 bölü kök 3 oluyor sonrası formül zaten

    1. Ne yazık ki bu kürenin yarıçapı 5 ten küçük olmamak kaydıyla her sayı olabilir ve bu yarıçapı bulmanı sağlatacak bir formül yok ki buna gerek de yok sorunun güzelliği de buradan ileri gelmekte. kürenin yarıçapı ne olursa olsun sonuçta kalan hacim değişmemekte. kısaca soruda güzel bir matematiksel tekillik* mevcut.

      matematiksel tekillik: “ne kadar sallarsan salla …” diye halk arasında yaygınca kullanılan özdeyişin kağıt üzerinde sayılara rakamlara bürünmüş hali.

  6. Yuckfou’nun da belirttigi, kalan hacim, silindirin yuksekligine baglidir. Bu, arzu edilenler icin asagidaki gibi ispat edilir;

    h,a,l,r gibi paaremtreleri asgidaki gibi tanimlayalim;
    h: kesilen kure parcalarinin yuksekligi
    a: silindirin daire kesitinin yari capi
    l: silindirin yuksekligi
    r: kurenin yari capi

    Bu durumda aranilan hacmi, kurenin hacminden silindirin, ve kesilen kure parcalrinin cikarilmasi ile bulunur; bunu formule edersek; H1, H2, H3, H4 hacimlerini sirasiyla asagidaki gibi tanimlayalim:

    H1: ust kisimdan kesilen kure parcasinin hacmi
    H2: alt kisimdan kesilen kurenin parcasinin hacmi
    H3: silindirin hacmi
    H4: kurenin hacmi
    H5: bulunmak istenen kurenin hacmi

    bu durumda; (1) H5 = H4 – H1 – H2 – H3

    ve
    H1= 1/3*pi*h^2*(3*r-h)
    H2= 1/3*pi*h^2*(3*r-h)
    H3= pi*a^2*l
    H4= 4/3*pi*r^3

    ayrica su baglantilar da mevcuttur;
    r^2= (l/2)^2 + a^2
    h = r – (l/2)

    Butun degerleri (1)’deki denkleme koyup, a ve h parametrelerini elimine ederek, (1) denklemini yeniden r ve l parametrelerine bagli bir formul seklinde yeniden yapilandirip ve gerekli sadelestirmeler yaptiktan sonra, aranan hacim asagidaki sekle donusur
    H5=4/3*pi*(l/2)^3

    Diger bir deyisle; kalan hacim, silindirin yuksekligini cap kabul eden kurenin hacmine esitir. Dolayisyla, kalan hacim, sadece silindirin hacmine baglidir.

Bir cevap yazın