Aynı Toplam

İki rakamlı iki farklı sayı tutuyor ve toplamlarını alıyorsunuz. Aynı işlemi arkadaşınız da yapıyor. Sizin ve arkadaşınızın aynı toplamı elde etme olasılığınız kaçtır?

Not: Problem tek rakamlı iki farklı sayı için sorulsaydı cevap 29/405 olacaktı Cevabınızı kesir olarak ve sadeleştirerek giriniz.

Author: Admin

Bir köy muhtarsız olmaz, bir iğne ustasız olmaz, sahipsiz olamaz, bir harf kâtipsiz olamaz; biliyorsun. Nasıl oluyor ki, nihayet derecede muntazam şu memleket hâkimsiz olur? Risale-i Nur Külliyatı - Sözler / 10. Söz

3 thoughts on “Aynı Toplam

  1. 2 rakamlı 2 farklı sayıların ihtimali:

    (10,11),(10,12)…(10,99) ==> 89 adet +
    (11,12),(11,13)…(11,99) ==> 88 adet +

    (97,98),(97,99) ==> 2 adet +
    (98,99) ==> 1 adet

    olmak üzere 1’den 89’a kadar olan sayıların toplamı kadardır.
    Bu da 89*(90/2) = 4005 adete tekabül eder. Yani benim her bir rakam ikilisini seçme ihtimalim 1/4005 demektir.

    Bu ikililerin toplamı ise en küçük çift olan 10+11 = 21 ile en büyük çift olan 98+99 = 197 arasında değişmektedir.

    Toplamlara kısaca ‘T’ dersek,

    T=21 ==> 1 adet (10+11)
    T=22 ==> 1 adet (10+12)
    T=23 ==> 2 adet (10+13 ve 11+12)
    T=24 ==> 2 adet (10+14 ve 11+13)
    T=25 ==> 3 adet (10+15, 11+14, 12+13)
    T=26 ==> 3 adet (10+16, 11+15, 12+14)

    T=105 ==> 43 adet
    T=106 ==> 43 adet
    T=107 ==> 44 adet
    T=108 ==> 44 adet
    T=109 ==> 45 adet
    T=110 ==> 44 adet
    T=111 ==> 44 adet
    T=112 ==> 43 adet
    T=113 ==> 43 adet

    T=194 ==> 2 adet
    T=195 ==> 2 adet
    T=196 ==> 1 adet
    T=197 ==> 1 adet

    olduğunu görürüz. Yani toplamlar her iki sayı artışta bir adet ihtimal artıyor ve piramit misali 109’da (ki bu sayı 21+197 toplamının yarısıdır haliyle) tavan yapıp 45 adete çıkıyor sonra aynı şekilde her iki artışta bir adet ihtimal azalıyor.

    Buradan da 1. çifti (10,11) tutma ihtimalim 1/4005 olup karşı tarafın aynı toplamı (21) veren çiftlerin sayısı da 1 olduğundan onun ihtimali de 1/4005’tir.

    Aynı şekilde 2. çift için de 1/4005 benim ihtimalim iken, aynı toplamların sayısı 1 olduğundan ihtimal yine 1/4005 olacaktır.

    3. çiftte (10,13) ise benim ihtimalim yine 1/4005 (ki bu her zaman aynı olup değişmeyecektir) olup, bu sefer aynı toplamı veren çiftlerin sayısı 2 olduğundan karşı tarafın bu toplamı veren sayı tutma ihtimali bu sefer 2/4005 olacaktır.

    Sonuç olarak genel ihtimal ise:

    2*1 adet (1/4005)*(1/4005) +
    2*2 adet (1/4005)*(2/4005) +
    2*3 adet (1/4005)*(3/4005) +

    2*44 adet (1/4005)*(44/4005) +
    1*45 adet (1/4005)*(45/4005) +
    2*44 adet (1/4005)*(44/4005) +

    2*3 adet (1/4005)*(3/4005) +
    2*2 adet (1/4005)*(2/4005) +
    2*1 adet (1/4005)*(1/4005) +

    Burada ‘2*N adet’ gibi bir ifadenin ilk çarpanı (toplamı 109 veren 45 adet çiftler hariç) hep 2 şeklinde sabit olup her 2 toplamın artışında 1 ihtimal artmasından kaynaklıdır. İkinci çarpan ise her bir N adet toplama karşılık gelen çiftlerin sayısı için toplamın tutma ihtimalini göstermektedir.

    Sonucu sadeleştirirsek:

    2/4005^2 * (1^2 + 2^2 + … + 43^2 + 44^2 + 44^2 + 43^2 + … + 2^2 + 1^2) + 45^2/4005^2

    = 4/4005^2 * (1^2 + 2^2 + … + 43^2 + 44^2) + 45^2/4005^2

    = 4/4005^2 * (44*(44+1)*(2*44+1)/6) + 45^2/4005^2

    = (4*44*45*89/6 + 45^2)/4005^2

    = 119505 / 16040025

    = 7967 / 1069335

    yaklaşık binde 7 buçukluk bir ihtimal.

Bir cevap yazın