Reklam Alanı

Vezir ve Sandıklar

Bu soru 09 Eylül 2009 tarihinde ZekiAdam tarafından gönderildi

Şah, vezirini yaptığı affedilmez bir hatadan dolayı ölüme mahkum etmiştir. Vezirini de çok sevdiğinden ona son bir şans vermek ister. 41 tane sandığa herbiri birbirinden farklı miktarda altın para koydurtur ve hepsini vezirin huzuruna getirtir(vezir bu miktarları da bilmemektedir). Bundan sonra vezir istediği sırayla sandıkları açıp herhangi birinde “tamam bu açtığım sandığı seçiyorum” diyecek, içinde en fazla altın olanı seçmişse kurtulacaktır. Vezirin sadece en son açtığı sandığı seçme hakkı olduğuna göre,

1.Kurtulmak için izleyebileceği en iyi strateji nedir?

2.Kurtulma ihtimali nedir?

Not: Sandığa yönelmişse artık açması gerektiği gibi bir koşul da getirelim ki sandığı açmadan önce şöyle bir ağırlığına bakar, tartar, sallar, çalkalar falan gibi yaklaşımların önünü tıkayalım.

Facebook'ta Paylaş

4 votes, average: 2,50 out of 54 votes, average: 2,50 out of 54 votes, average: 2,50 out of 54 votes, average: 2,50 out of 54 votes, average: 2,50 out of 5 (4 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,50)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,


“Vezir ve Sandıklar” için 28 Yorum

  1. chnarabaci dedi ki:

    Sanırım en mantıklısı son sandığa kadar açması :d % 2buçuk gibi bir ihtimali var

    • yuckfou dedi ki:

      Son sandığa kadar açarsa en kötü şeyi yapmış olur çünkü sadece en büyük son sandıktaysa yaşayabilir o da dediğin gibi yaklaşık %2.4 falan olur.

      ama mesela şöyle yapsa
      bikaçtane açsa sonra örneğin 5. açtığı o ana kadar açtıklarından en büyükse tamam bunu seçiyorum dese şansı yanılmıyosam 5/41 gibi bişey olur çünkü en azından 5 taneyi elemiştir :)

  2. ADEMOGLU dedi ki:

    En ağırı bulma ihtimali 1/41 ama şöyle bişey denese eline bir altın para alsa ve açtığı sandıklara bu altını koysa ne zaman bir altınla sandık kapanmazsa onu alsa…;) bu soru var mısın yok musun u hatırlattı ben sandığıma gitmek istiyorum büyük açacağımdan eminim

    • yuckfou dedi ki:

      Sanırım soru yanlış anlaşılmış, sandığı açtığında içindeki parayı sayabiliyo, ama o sandığı açtıysa artık önceki sandıklardan birisini seçemez ya o sandığı seçecek ya da başka bir sandık açacak ve aynı şekilde o açtığını seçecek veya başka bir sandık açacak …

      yani diyelimki sandıklardan en çok altın içerende 1907 altın var
      vezir açtı açtı hiçbirini beğenmedi 10. sandık olarak 1907 altın olanı açtı gene beğenmedi ve 11. sandığı açtı artık vezirin yaşama şansı kalmamıştır çünkü en büyük sandığı açmıştır ve seçmemiştir. yani vezirimiz açtığı sandıkta kaç altın olduğu konusunda problem yaşamıyor, sadece o açtığının en büyük olup olmadığını bilmiyor çünkü sandıklarda kaçar altın var bilemiyor.
      zaten hangisine konulduğunu bilmese de kaçar altın konulduğunu bilseydi en büyük olanı açana kadar açar ve en büyüğü seçip kurtulurdu.

  3. borred dedi ki:

    21. veya 21.’den sonra yüksek çıkarsa. 21/41 olasılıkla hayatta kalır:)

    • yuckfou dedi ki:

      Tam olarak ne demek istediğini anlamadım.
      21. yi mi seçsin?

      sanki vezirin yerindeymişsiniz gibi mantığını anlatırsanız daha hoş olur. örneğin ilk önce 1 tane sandık açarım, ne çıkarsa çıksın onu pas geçerim, sonra 2. bi tane açarım 1. den büyükse yeni bi tane daha açarım o da 2. den büyükse onu seçerim yok değilse üst üste 2 tane o ana kadar açtıklarımdan büyük çıkana a kadar devam ederim gibi, bu şekilde seçebilirsem şu şu ihtimalle yaşarım, ancak şöyle olursa ölürüm … (tamamen sallamasyon bi yöntem attım, tabiki cevap bu değil)

      • goksu_oz dedi ki:

        Seni bi arkadaşıma çok benzetiyorum.

        • borred dedi ki:

          20.ciye kadar sorgusuz sualsiz açarım. 21. en büyük olursa onu kabul ederim olmaz 22. olmazsa 23. diye giderim. Sonuncuya kadar şansımı 20. kutudan sonra denerim. Sebep; 1 ‘yi kabul edersem 40/41 kaybederim1/41 kazanırım,2.’yi kabul edersen 39/41 kaybederim…. 20’yi kabul edersem 21/41 kaybederim,20/41 kazanırım(tabi bu toplarda en büyük çıkarsa)…21. ve sonrasında çıkan en büyük topu(yine tabi ki çıkarsa)kabul edersem kaçıncı topta kabul etmişsem kazanma oranım o olur. Örnek 23 top diğerlerinden büyükse 23/41 kazanırım 18/41 kaybederim gibi… Bilmem bilebildim mi:)

        • yuckfou dedi ki:

          şimdi 20. ye kadar sorgusuz sualsiz açarsan peşinen 20/41 oranla en büyük o ilk 20 taneden birisi olacağından 20/41 lik şansını kaybedersin.

          bundan sonraki durmu değerlendirelim;
          bundan sonra diyelim ki en büyük 2 tane (3-4 tane için de düşünülebilir) miktar ilk 20 tanede bulunmasın. bu durumda en büyük 2. miktar eğer sana en büyükten önce denk gelirse o zamana kadar açtıklarının en büyüğü olacağı aşikar ve senin yönteminde onu seçeceksin ve kaybedeksin ki bunun ihtimali de kalan durumlar içinde yaklaşık %50 falan gibi bişey olmalı.

          sonuç olarak çözüm mantığının güzel olduğunu ve sorunun çözümünden çok uzak olmadığını ama doğru da olmadığını belirtmek isterim.

          • isa dedi ki:

            şöyle bir hesap yapabilir bütün sandıklarda birbirinden ferklı miktarda altın varsa 41 altından az olan sandıklar en
            fazla altının olduğu sandık olamaz.ayrıca
            acılan sandıklardaki altınların eboblarında
            yola cıkarak bir tahmin yürütebilir. yani
            ebobları 10 gibi olursa en fazla altının olduğu sandıkta 410 altın olabilir gibi…

          • yuckfou dedi ki:

            ılginç bir yorum hiç böyle düşünmemiştim ama takdir edersin ki bu çok özel bir durum, sandıklarda 10000 den büyük 41 tane ardışık sayı olduğunu düşününce, bu yaklaşım anında çökmüş oluyo.

  4. bedox dedi ki:

    şimdi benim anlamadığım 1 sandık mı açacak bir sandık mı seçecek ? bence en kolayı şaha ‘şahım size layık olanı seçiyorum demesi en kolayı

    • yuckfou dedi ki:

      Bence bu sorduğun sorunun cevabı soru metninde hiçbir kuşku bırakmayacajk şekilde açıklanmış ama ben yine de bir kez daha açıklayayım.

      vezir istediği sırayla istediği kadar sandığı açıyo, tek yapması gereken herhangi bir anda o açtığı sandığı seçmek ve en büyük budur demek. sandıkları açtıktan sonra içlerinde altınları saymak, tartmak veya kıyaslarken ne yapacaksa o işlemi uygulaması serbest. sandığın birini açtıysa artık ondan önce açtığı hiçbir sandığı seçemez.

      örneğin sandıkları açıyo olsun ve sonuçalr şöyle

      103 altın seçmedi
      110 altın seçmedi
      105 altın (bu noktada 2. sandığı seçemez artık 3. sandık açıldı)

  5. fenci_09 dedi ki:

    Bu soruyu çözen adam varmısın yokmusun yarışmasında 500000 kazanır. tabiki şansla.

    • yuckfou dedi ki:

      var mısın yok musun’da kutularda neler olduğu belli, yani baya farklı durumlar , bir de var mısın yok musunda açtıklarından seçim yapmıyosun , hamdi bey kıvama getirilmiş yarışmacının “negatif risk psikolojisini” sömüren bir teklif yapıyo.

      bu soruda da tabiki risk alınacak ama bunu mantık çerçevesinde yapacaksınız.

  6. bulut dedi ki:

    Her actıgı sandıktaki altını bir sonraki actıgı sandıga boşaltarak her yeni acmış oldugu sandık ta ki altın miktarı bir öncekinden fazla olacagın dan dolayı vezir kellesini kurtarır ve en son actıgı sandık taki altın miktarı ise en fazla altına sahip sandık olur…

    • yuckfou dedi ki:

      Bu da ilginç bir yaklaşım ama biraz şark kurnazı taktiği olmuş, devletlüm siz ne diyorsanız o der ve kendini padişaha teslim eder :)
      padişah da kıyamaz vezire affeder falan gibi ama tabiki sorumuzun cevabı aşağıda da (sadece genel hatlarıyla bir çözüm eksiksiz bir çözüm oldukça uzun olurdu) yazdığım gibi daha ciddi ve matematik içerikli.

  7. yuckfou dedi ki:

    Pek alışık olunmayan bir soru olduğu için pek fazla uğraşan da olmadı sanırım.
    %100 üstünden gitmese de genel hatlarıyla çözüm yazıp bırakmak istiyorum,

    vezirimizin hiçbir sandıktaki miktarı bilmemesinden hareketle herhangi bir anda o ana kadar açtığı sandıkların birinde en büyüğün açılmış olması ya da olmaması gibi bir kesin yargıya varması imkansızdır. dolayısıyla elindeki tek bilgi o ana kadar açılan sandıkların içlerindeki miktarlardır.

    buna dayanarak vezirin belli sayıda sandığı içlerinde ne kadar altın çıkarsa çıkın atlayıp bi noktadan sonra o ana kadar açtığı sandıklardan daha büyük bi sandık açar açmaz onu seçtiği gibi bir strateji izleyebilir(*).
    şimdi bu sabitediği sndık sayısı n olsun, yani n tane sandığı her şartta açsın diyelim içlerinde en fazla 115 altın çıktı bundan sonra sırayla açmaya devam etsin 115 ten fazla bulduğu (bulamayabilir de) sandığı da bunu seçiyorum diye seçsin.
    bu starateji uygulandığında vezirin kazanma durmunu inceleyelim;
    ilk şart açtığı n tanede tüm sandıklardaki en büyük miktarın açılmamış olmasıdır. 2. şart ise o an seçtiğinin en büyük olmasıdır, 3. ve son şart ise o seçtiğine kadar ki en büyüğün ilk n tane içinde gözükmesidir.
    şimdi 41 tane sandık olduğu için en büyüğün herbirinde olduğu durumlar için vezirin kazanma ihtimalini toplayalım
    ilk n tane için vezirimiz direkt kaybedecektir. onlar için olasılık toplamaya gerek yok,
    i=(n+1) den 41 e kadar değerler alırken en büyük içerikli sandık i. olsun
    i=n+1 ken vezirimizin kazanma ihtimai %100 dür,
    i=n+2 ise 3. koşulun sağlanması gereğinden vezirin yaşama ihtimali n/n+1
    ..
    i=41 ken vezirin yaşama ihtimali o ana kadarkilerden en büyüğünün pas geçtiği ilk n tanede olması durumudur yani n/40

    bu ihtimallerin tanmamı toplandığında,
    (1/41)*(1+n/(n+1)+n/(n+2)+…+n/40)
    acaba bu toplam hangi n değeri için max değerini alır bunu belirlememiz gerekmekte, n parantezine alındığında bu değerin harmonik seri (1/x ler)
    toplamı olduğu ve max değerine n=41/e de ulaşılacağını gösterebilriiz (**)
    41/e ~ 15,083 olduğuna göre
    n=15 sandık atlanmalı ve ondan sonra rastlanacak o ana kadarki en büyük sndık seçilmelidir. (tabi eğer rastlanısa çünkü en büyüğün ilk 15 tanede olması durumunda kaçınılmaz son ölümdür)

    (*)bu staratejinin tek strateji olduğu gösterilebilinir ama bunun zorluğu nedeniyle göstermiycem sadece bikaç cümle söyleyeceğim. başlangıçta 41 sandık ve farklı miktarlar bilgisi dışında bilgimiz olmaması ve bir sandığı ancak en son açtığımız sandıksa seçebilmemiz koşulları bu stratejiyi zaten dikte etmektedir. vezirin yapabileceği tek şey belli bir seviyeye kadar elde edeceği bilgiyi sonrakiler için kullanmaktır. burada biz sadece bu noktayı belirledik.
    (**)bu fonksiyonun max değerini 41/e de aldığı integral yardımıyla gösterilebilinir.

    • pinar.t dedi ki:

      bende 40/e cikti, serinin sonuncusu 1/40’ti ya! sen galiba integrali 41’e kadar aldin.

      • MyNameis_HIDIR dedi ki:

        Sonuncu terim 1/40 ama burada o toplamda x ve x+1 değerleri için hesaplayıp farklarının 0 olduğu (x+1 için toplam azalmalı ki x için değeri max olsun) noktaya bakarsak
        ln(41)-ln(x) gibi görebiliriz, (eğer yanlış bişeyler yapmıyosam).

        yani o son terimin paydasının 40 olması 41 den önceki dikdörtgenin kenarı olmasından, en azından ben öyle düşündüm.

        şimdi 41 buna uygun bir sayı değil hem 41/e hem de 40/e için aynı tamsayı bulunuyo ama sandık sayımız 40 olsaydı,
        40/e için 15 sandık atlamamız gerekirdi 39/e için 14 sandık atlamamız gerekirdi

        40 sandıkta
        14 sandık atlanırsa %37,56932
        15 sandık atlanırsa %37,57428

        olur ki 15 sandık atlamanın daha iyi bir durum olduğu deneysel olarak da görülür.
        bence cevap 41/e :)
        ya da herhangi bir n sayısı için (n/e) ye en yakın tamsayı kadar atlanmalı sonra da en büyük seçilmeli.

        kısaca sorun toplamın hesaplanan integrale alttan yaklaşmasından kaynaklanıyo diyebiliriz (yani ben oradan kaynaklandığını düşünüyorum)

        • pinar.t dedi ki:

          once sana gayet katilan ama arada bazi soru isaretleri barindiran bir seyler yazdim. sonra da bir noktayi fark edip hepsini sildim (simdilik).
          hic integrale bulasmadan, 41 sandik icin bizim dizimizin asil fonksiyonu (ln(40/(n-1))*n/41 degil midir?
          senin fonksiyonun da bu ise eger, su 40 sandik icin buldugun 14 ve 15’i asil buna gore bir hesaplar misin lutfen.

          • MyNameis_HIDIR dedi ki:

            Bayram dolayısıyla kapalıyız :)
            neyse en altta kendi çapımda açıklamamı yazayım burası iç içe geçiyo

  8. yuckfou dedi ki:

    Sorunun 2. şıkkında vezirin kurtulma ihtimali

    1/41*(1+15/16+15/17+15/18+…+15/40) dir
    bu toplam ise ~ %37,57 dir (1/e sayısına çok yakın bir değer :) )

    elim değmişken 41 sandık varken değişik n (başta içlerinde ne olursa olsun atlanacak sandık miktarı) için yaşama değerlerini vereyim,
    n=0, ~%2,44
    n=1, ~%10,44
    n=2, ~%15,99
    n=10,~%35,36
    n=14,~%37,51
    n=16,~%37,48
    n=20,~%35,65
    n=39,~%4,82
    n=40,~%2,44

    ———–

    bu soruyu farklı bir şekilde de görmüştüm, bir adamın hayatında rastlayacağı kızlar içinden en güzelini seçmesiyle ilgili uygulayacağı stratejiyi sormaktaydı, cevap olarak da kabaca 1/3 ünü pas geçip ondan sonra o ana kadar karşısına çıkan en güzelini seçmesini söylemekteydi. gördüki en kesin çözüm 1/e kadarını pas geçmek :)
    günümüze uyarlarsak (popüler olsun), izdivaç programındasınız ve x tane talibiniz çıktı sırayla karşınıza geliyolar ve birisini pas geçip geçmediğinizi o an karara bağlıyosunuz ve eskiye döndüğğünüzde de pas geçtiğiniz size pas vermiyor. diyelimki 20 talibiniz var (maşallah :) ) o zaman yapmanız gereken 7 tanesini pas geçip sonra rastlıycağınız en uygununu seçmek ve artık seçiminizden sonrakileri yoksaymak, tabi tek şart en uygunu seçmekse yok 2. en uyguna da razıysanız strateji değişir :)

  9. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    şimdi esas demek istediğimi ana hatlarıyla yazayım,
    öncelikle söylememiz gereken yukarıda hesapladığımız 1+1/x+1/x+1+…+1/40 şekilli toplamın ln(40/x-1) gibi herhangi bir fonksiyonla ifade edilmeyeceğidir.
    bu 1/x ler toplamı sadece ln(40/x-1) türü fonksiyonlar familyasının tahmini değerini hesaplayan bir toplam kümesidir, bu 2 şeyi hesapladığımızda aynı değerlere ulaşmayız.
    bu tahmini değeri de 1/x eğrisinin altındaki alanı x eksenini 1 er birimlik parçalara ayırdığında oluşan 1*1/x lik dikdörtgelerin alanlarını toplayarak hesaplar.
    benim yukardaki yorumlarda demek istediğim bizim hesapladığımız toplamın aslında x ile 41 arasında kalan bölgenin alanına x-1 ile 40 arasındaki bölgenin alanından daha yakın olmasıdır.
    x ile 41 arasında hesap yapıyosak yaptığımız hata miktarı
    1/(x+1)-ln(x+2/x+1)
    x-1 ile 40 arasındaki alanı hesaplarken yaptığımız hata miktarıysa
    ln(x+1/x)-1/(x+1) olur ki
    bu hatalardan 2. nin daha büyük olduğunu fazla zorlanmadan görebiliriz.(nasıl görürüz dersen 1/x fonkisyonunun azalma hızı azalmaktadır dememiz yeterlidir- herhangi bir d değeri (x-d) ve (x+d) noktalarında 1/x in grafiğinin dikdörtgenimize uzaklığına bakabilirsin)
    şekil olarak ne kastediyoruz?
    http://img24.imageshack.us/img24/9738/graphreciprx.jpg
    1/x fonksiyonu için bir x değeri belirleyip örneğin 15 belirleyip , 14-16 arasında yüksekliği 1/15 olan dikdörtgeni çizdiğimizde
    15 den geride grafiğimizin altında dikdörtgenimizin içinde kalmayan alanın (sarı bölgenin) , dikdörtgenin 15 ile 16 arasındaki parçasının grafiğin üstünde kalan alanınından (lacivert bölgeden) her x değei için büyük olmasını kastediyoruz. biz sarı bölgenin altındaki alanlar toplamına göre işlem yaparsak x-1 ile 40 arasını dikdörtgenlerle bölmüş oluruz lacivert bölgelerin olduğu dikdörtgenlere göre hesaplarsak x ile 41 arasını. lacivertler daha az hata yaptığından
    40 ya da herhangi bir n sayıdaki sandık için o toplam (n-1)/e değil de n/e ye en yakın tamsayı değeri için max değerini alır.

    şimdi 40 sandık için 14 mü 15 mi atlandığında ihtimalin büyük olduğu sorununu çözelim. eğer o toplamın değerini
    ln(n/(x-1))*x/41 olarak alırsan n sandık sayısı, x atlanan sandık sayısı olduğunda (bunun olmadığını yukarda söyledim, çünkü sadece bu toplamımıza yakın bir değerdir kendisi değildir)
    n=40 için x=14 olduğunda %38,45 , x=15 olduğunda %38,41 çıkarki 14 ün daha iyi olduğu sonucuna varırız.
    halbuki n=40 ken 14 ve 15 için o toplamı tek tek yazıp topladığımızda
    x=14 için değeri %37.5693
    x=15 için değeriyse %37.5742 bulunur

    dikkat edilirse bu son yazdıklarım tahmini değerler değildir tam değerlerdir ve 15 için 14 ten daha iyi bir sonuç bulunmaktadır bu da yazılı toplamımızın aslında n-1 li değil de n li durumu daha iyi tahmin ettiğinin deneysel bir örnekle de desteklenmesidir
    son bişey daha söyleyeyim n=100,200 gibi sayılarda bu sayılar arasındaki fark o kadar azdır ki vezir 200/e yi mi 200/e -1 mi seçmesi muhtemelen milyonda birden daha az etki yapacaktır.
    sadece 41 sandık için bile fark 1/1000 ler seviyesinde
    ———
    her zamanki gibi uzatarak anlattım ama anlatma konusunda hep sıkıntı çekmişimdir artık kusura bakmayın.

  10. aga dedi ki:

    Evet, soru ve çözüm çok güzel, fakat bence ufak bir düzeltme gerekli soruda. Verilen çözüme göre ilk açılan n sandıktan sonra açılan n+1. sandığın o ana kadarki en büyük altın sayısına sahip olma ihtimali 1/n+1 olarak düşünülmüş. Fakat örneğin açılan 5. sandıkta x<41 olacak şekilde x altın çıktığında bu sandığın kesin bilgiyle en fazla altın barındıran sandık olmadığı aşikardır. Soru yorumlar okunmadan ilk kez okununca bu tarz handikaplar da insanın aklına geliyor ve iş iyice karmaşıklaşıyor.

    Bunu düzeltmek amacıyla her sandığa üzerinde tam sayı yazan (pozitif ya da negatif) bir kağıt konulmuştur dersek bu sıkıntı ortadan kalkar. Soru çok güzel, sitedeki ilk beş soru içine girer benim gördüklerim arasında.

    Aradan hayli zaman geçmiş ama gene de soru için teşekkürler…

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.