Reklam Alanı

Tamsayı Kenarlı Diküçgenler

Bu soru 20 Eylül 2009 tarihinde MyNameis_HIDIR tarafından gönderildi

Herbiri tamsayı kenarlı bir diküçgenin hipotenüsü olacak şekilde;

1.4 ardışık sayı bulunabilir mi?

2.Bu koşula uyan en fazla kaç ardışık sayı bulunabilir?(örneğin 7-24-25 ile 10-24-26 üçgenlerinin hipotenüsleri olmak üzere 2 ardışık sayı (25 ve 26) bulunabilir.Bunların yanına hipotenüsü 27 veya 24 olan bi üçgen de bulabilseydik dizimizi 3 sayıya çıkarmış olurduk. )

3.Dik kenarları ardışık 2 sayı olan olan kaç değişik tamsayı kenarlı diküçgen bulunabilir?(bu çeşit üçgenlerden 2 tanesi 3-4-5 ve 20-21-29 üçgenleri olup görüldüğü üzere dik kenarları ardışık sayılardır)

Facebook'ta Paylaş

4 votes, average: 2,00 out of 54 votes, average: 2,00 out of 54 votes, average: 2,00 out of 54 votes, average: 2,00 out of 54 votes, average: 2,00 out of 5 (4 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , ,


“Tamsayı Kenarlı Diküçgenler” için 13 Yorum

  1. pinar.t dedi ki:

    bu soruya inanilmaz cebir uyguladim, gorseydiniz cumleten aglardiniz haline ve dahi halime. diyecegim o ki, maksimum 2’ye kanaat etmeyi de bilmeli insan. ama sabahin 4’unde benim kanaatkarligim tutmus da olabilir tabii…

  2. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Ya pardon bu soruda kantarın topuzu kaçmış,basbaya abartmışım. sadece 1. şık uygun hadi belki 3. şık da çözülebilir ama 2. şık biraz ağır olmuş.
    matematik bölümleri tüm 4. sınıf öğrencilerine 2 saatlik sınav yapılsa ve sadece 2. şık sorulsa sanmıyorum 10 kişiden fazla çözen olsun.

    kaç zamandır aklıma takılan bi soru vardı,
    “sadece 1 ler ve 0 lardan oluşan ve içinde en az 2 tane 1 olan 1 tamkare olabilir mi?”
    (böyle tamkare olmadığından eminim sadece henüz gösteremedim-bu arada yukardaki sorunun orijinal olma ihtimali de çok yüksek ihtimal)

    belki bi kopya falan bulurum diye eski defterleri karıştırıyodum, yukarda yazan soruyu orada görünce dedim 4 tane sayı için sorayım belki ilgilenenler olur, 2. şıkkı uyku sersemi araya sıkıştırmışım sanırım. 3. şık zaten bu sorunun altındaki farklı bir soruydu yani başlı başına farklı bir soru.

    uğraşmak isteyen yine de uğraşsın tutmayayım ama 2. şıkkı dikkate almayabilirsiniz, burası için uygun bi soru değil.

    sanırım bu yazdıklarımdan 1. şık için cevap olduğu sonucu çıkarılabilir, o da ipucu olsun bari.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      2. şıkkın cevabı bu koşula uyan sınırsız uznulukta ardışık sayı dizisi oluşturulabilir
      2. şık için ipucu/kopya/yardım ne derseniz ondan vereyim
      Fermat’ın 2 kare teoremine göre 4k+1 şekilli her asal sayı 2 tamkare toplamı olarak yazılabilir örneğin
      17=16+1 , 13=9+4 gibi

      3. şık için de sonsuz çoklukta böyle diküçgen bulunabilir,
      sanırım bu şık için sonsuz sayıda bulunabiliyo olması yeterli bir ipucu. bi sonraki böyle üçgeni de yazayım
      119-120-169 diküçgeni

      kolay gelsin!

    • pinar.t dedi ki:

      Evet bu yazdiklarindan benim formulde bir seyleri gozden kacirdigim sonucu cikiyor ortaya. gerci cok guzel ciftler uretiyordu ama… 3 taneye bir ornek verebilir misin ki nerede hata yaptigimda taaa basa sarmayayim, bulmam kolaylassin.

  3. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Yorumun henüz yayınlanmamış ama nasılsa çıkar şimdiden yazayım.
    3 tane için daha küçük örnekler olmasına rağmen işin iyice suyunu çıkarmamak için büyük bi örnek vereyim;

    (324,945-999)
    (600,800-1000)
    (385,924-1001)

  4. pinar.t dedi ki:

    ne diye ciktim yola, geldigim noktaya bak!
    su anda kagidin uzerinde minicik bir algorima mi deseeem ne desem, oyle bisi var. icine bir sayi koyuyorsun, hoooop sana 3 tane sayi fiskirtiyor dik ucgen kenarlari olaraktan. amman ne guzel denilebilir ama benim formuller yaratiga donustu, kendi kafalarina gore davraniyorlar. mesela veriyorum 6’yi, cikiyor karsima 16-30-34. hicbir tarafini denetleyemiyorum. varsa boyle haybeye kareler toplami kare uretmek isteyen, satabilirim bu luzumsuz seyi. raslantisal diye afili bir baslik atsam alici bulur muyum acaba?

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      16-30-34 d,iküçgeninin içteğet çemberinin yarıçapı 6 :)
      ——–

      tüm pisagor üçlülerini tanımlayan bir formül zaten var
      k,m,n birer pozitif tamsayıyken

      k(2mn) , k(m^2-n^2) , k(m^2+n^2)

      bu şekilde ifade edilemeyen pisagor üçlüsü olamaz, yani bulduğun formül bu değilse bile bunun bir altkümesidir.

      örneğin 16,30,34 için k=2 , m=4 , n=1

  5. pinar.t dedi ki:

    14.816 – 27.780 – 31.484
    18.891 – 25.188 – 31.485
    12.110 – 29.064 – 31.486
    10.212 – 29.785 – 31.487

    bu sayilari gorunce, birilerinin ugrasacagi varsa bile tirsar herhalde.
    yalniz ben sorunun neresinden tutup gurestiysem artik bilinmez, sonsuza gittigini bu rakamlar cikmadan gormus oldum.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Daha küçük cevaplar olduğunu söylemiştim sadece uğraşanları engellememek için büyük sayılarda örnekler vermiştim

      mesela 3 tane için
      (15,36-39)
      (24,32-40)
      (9,40 – 41)
      en küçük çözüm olması lazım

      4 tane için de
      (30,40-50)
      (24,45-51)
      (20,48-52)
      (28,45-53)
      en küçük çözüm olmalı (emin değilim ama yoktur heralde daha küçükleri)
      ————
      soruya bu şekilde uğraştığına göre bence 3. şık ilgini daha çok çekecektir. mesela (119,120,169) üçlüsünden bir sonraki üçlüyü bulmaya çalışabilirsin, hem bulduğunda soruyu da çözersin büyük ihtimal.
      şimdi sorunun çözümünde hiç ilgisi yok ama (kök2) sayısının a/b şeklinde yazılarak ne kadar yakın tahmin edilebileceğini görebiliriz örneğin (119,120,169) üçgeninden kök2 syısının 169/119 ile 169/120 arasında olduğunu ya da (169+169)/(119+120) sayısına çok yakın olduğunu görmüş oluyoruz :)

  6. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Bu sorunun 1. şıkkı cevaplanmıştı, 2. şıkkını da daha soru yeni olmasına rağmen cevaplayayım sadece 3. şık kalsın onla uğraşanlar olabileceğini düşündüğümden şimdilik cevaplamayacağım.

    yukardaki yorumlarda verdiğim ipucunda 4k+1 şekilli yazılabilen her asal sayının 2 tane tamkare toplamı olarak yazılabildiğini söylemiştim (Fermat’ın 2 kare teoremi)

    şimdi buradan hareketle
    4k+1 şekilli her asal sayıyı m^2+n^2 olduğunu düşünürsek ve yine yukardaki yorumlarda yazdığım gibi her pisagor üçlüsü
    k(2mn) , k(m^2-n^2) , k(m^2+n^2) şeklinde yazılabileceğinden
    eğer sayımız 4k+1 şekilli bir asal sayıya bölünüyosa örneğin 5 in ya da ne bileyim 13,17,29 gibi bir asal sayının katıysa m ve n sayıları bulunacağından dolayı o sayı için hipotenüs olduğu bir diküçgenin varlığını söyleyebiliriz.

    şimdi kaç tane ardışık sayı oluşturmak istiyosak o kadar 4k+1 şekilli asal sayı alırız
    bu asal sayılar p(1),p(2),…,p(t) olsun

    bu asal sayılar aralarında asal olduklarından (zaten kendileri asaldır)
    Çin kalan teoremine göre

    n=-1 (mod p(1))
    n=-2 (mod p(2))

    n=-t (mod p(t))
    denkliklerinin hepsini birden sağlayan bir n sayısı vardır.

    bu n sayısı için
    n+1 p(1) ile ,
    n+2 p(2) ile
    ..
    n+t da p(t) ile tam bölünür ve bu t tane sayı ardışıktır.

    her biri 4k+1 şekilli bir asal sayıya bölünebildiğine göre bu sayıları hipotenüs edinen bir tamsayı kenarı diküçgen bulunur. 4k+1 şekilli asal sayıların sayısı sınırsız olduğuna göre de bu dizinin eleman sayısını istediğimiz kadar arttırabiliriz yani istenilen uzunlukta herbiri tamsayı kenarlı bir diküçgenin hipotenüsü olan ardışık sayı dizisi bulunabilir.

  7. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Bu sorunun son şıkkı için de sadece cevap yazayım açıklama gerekmez sanırım, hem buraya uygun bi soru değildi hem de pek ilgilenen de olmadı muhtemelen açıklama yazsam da okuyan olmayacak.

    x ve (x+1) diküçgenimizin ardışık dik kenarları , y ise hipotenüsüyken

    x(0)=3 , y(0)=5
    x(1)=20 , y(1)=29 ken

    n>1 için
    x(n)=6x(n-1)-x(n-2)+2
    y(n)=6y(n-1)-y(n-2)
    recurrans serilerindeki
    x(n),x(n)+1,y(n) dikkenarları ardışık bir diküçgen oluştururlar. (tümevarımla gösterilebilinir)

    örneğin bir sonraki diküçgen
    x(2)=6*20-3+2=119
    y(2)=6*29-5=169 olduğundan
    (119,120,169) diküçgenidir.
    ya da bir sonraki
    x(3)=6*119-20+2=696
    y(3)=6*169-29=985 olduğundan
    (696,697,985) diküçgenidir.

    bu serinin sonsuz elemanı olduğuna göre de böyle sonsuz tane diküçgen vardır.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.