19 thoughts on “Pozitif Tam Sayılar

  1. Yok öyle değil uğraşın biraz.. tabi isterseniz sayarak bulun ama bu soru 19 basamaklı rakamları toplamı 29 eden sayılarda olabilir.. benim çözüm bunuda çözüyor.. tabi biraz uzun oluyor o ayrı..

  2. Yanlız 3 soru sorudum. 3 basamaklı rakamları toplamı 8 eden 4 basamaklı rakamları toplamı 8 eden.. bide 5 basamaklı.. bu arada soruyu yazarken not etmiştim ama düzenlenirken çıkarılmış. soru kolay ancak ilginç bir çözüm yolu var.. uzun uzun da çözebilirsiniz. bu arada suavim 3 sorunun cevabı toplamı 486 =) ayrı ayrı yazarsan bide nasıl çözdün söylersen sevinirim yeni çözüm yolu öğrenmiş olurum bende =)

    1. Peki madem, sen istedin!
      anlatması uygulamasının 1500 katı uzunluğunda olan çözüm yöntemimi üşenmeyip yazmaya çalışıyorum. bakalım kim bayılmadan sonuna kadar okuyacak?!

      1) n basamaklı bir sayının basamaklarının sayı değerlerinin toplamının 8 olabilmesi için, ilk (n-1) basamağının sayı değerlerinin toplamının 8 veya daha küçük olması gerekir. bu sağlandıktan sonra son basamağa 0?dan 7?ye kadar sayılardan uygun olan konularak 8?e tamamlanır. yani biz eğer 3 basamaklı ve toplamı 8 eden sayıların sayısını bulmak istiyorsak bu, 2 basamaklı ve toplamı 1,2,3,?,8 eden sayıların sayısına eşittir.

      2) basamaklarının sayı değerlerinin toplamı: 1 olan bir sayının yanına 0,1,2,?,7 eklersek; 2 olan bir sayının yanına 0,1,2,?.,6 eklersek; 3 olan bir sayının yanına 0,1,2,3,4,5 eklersek; ??.; 8 olan bir sayının yanına 0 eklersek, toplamı 8 ya da daha az bir sayı elde ederiz.

      3) 1 basamaklı ve toplamı küçük/eşit 8 olan sayılar: 1,2,3,4,5,6,7,8. bu toplamların her birinden 1 tane var yani 8 taneler. (yani 2 basamaklı ve toplamı 8 olan 8 sayı yazılabilir: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80)

      4) diyelim ki n basamaklı, basamaklarının sayı değerleri toplamı da m olan (m küçük/eşit 8) bütün sayıları saydık, bu adete de x (n m) dedik. bu n basamaklı sayıların sonuna uygun rakamlar koyarak n+1 basamaklı ve yine toplamı küçük/eşit 8 olan sayılar elde etmek ve bunların sayısını bilmek istiyoruz.
      m=1 olanların sonuna 0,1,2,3,4,5,6,7 gelebilir.
      m=2 olanların sonuna 0,1,2,3,4,5,6 gelebilir.
      m=3 olanların sonuna 0,1,2,3,4,5 gelebilir.
      ?????
      m=8 olanların sonuna 0 gelebilir.

      yani, n+1 basamaklı ve m küçük/eşit 8 olan sayıların sayısı;
      x (n+1) 1 = x (n 1)
      x (n+1) 2 = x (n 1) + x (n 2)
      x (n+1) 3 = x (n 1) + x (n 2) + x (n 3)
      ???????.
      x (n+1) 8 = x (n 1) + x (n 2) + x (n 3) + x (n 4) + x (n 5) +
      x (n 6) + x (n 7) + x (n 8)

      5) 3. şıkka dönersek;
      x (1 1) = x (1 2) = x (1 3) = x (1 4) = x (1 5) = x (1 6) =
      x (1 7) = x (1 8) = 1
      o zaman,
      x (2 1) = 1 x (2 2) = 2 x (2 3) = 3 x (2 4) = 4
      x (2 5) = 5 x (2 6) = 6 x (2 7) = 7 x (2 8) = 8
      yani 2 basamaklı ve toplamı 8 ya da daha az olanların sayısı = 1+2+3+4+5+6+7+8= 36 = 3 basamaklı ve toplamı 8 olanların sayısı.
      devam edersek,
      x (3 1) = 1 x (3 2) = 3 x (3 3) = 6 x (3 4) = 10
      x (3 5) = 15 x (3 6) = 21 x (3 7) = 28 x (3 8) = 36
      1+3+6+10+15+21+28+36 = 120
      x (4 1) = 1 x (4 2) = 4 x (4 3) = 10 x (4 4) = 20
      x (4 5) = 35 x (4 6) = 56 x (4 7) = 84 x (4 8) = 120
      1+4+10+20+35+56+84+120 = 330

  3. 3 basamaklı için=2!+3!+3!+3!/2
    4 ” ” ” ” =3!+4!+4!+4!/2
    5 ” ” ” ” =4!+5!+5!+5!/2

    toplamlamın 8 olması onemli degil başka bir rakam için de aynı oluyor sonuç…

  4. Olay permütasyonla kolay çözülüyor arkadaşlar. şimdi şöyle düşünelim toplamı 8 edeceğine göre sekiz tane çeltik koylum //////// ve 3 basamaklı olması için 2 de ayraç örneğin: &,& .. şimdi 8 çeltik ve 2 ayracı sıralıycaz yani tekrarlı permütasyon.. herkesin anlaması için örnek veriyorum:
    ///&///&// = 332 , /&////&/// = 143 , ////////&& =800 bu kurala göre 3 soru da çözülür ancak tek koşul ayraçlar başta olmuycak çünkü ozaman 3 basamaklı olmaz bu nedenle tüm durumdan ayraçların başta olduklarını çıkarcaz.. 4 basmak için 3 ayraç, beş basamak için de 4 ayraç kullanmalıyız

    3 basamak için çözüm: 10!/8!.2! – 9!/8!.1!= 36
    4 basamak için çözüm: 11!/8!.3! – 10!/8!.2!= 120
    5 basamak için çözüm: 12!/8!.4! – 11!/8!.3!= 330
    .
    .
    .

    yani çözüm 1 satır =)

  5. Yani kardeşim öyle de olur ama aslı permutasyondan geliyor fakat 2 değişken olduğu için combinasyon formülüne uyuyor..

    1-) c(10,8)-c(9,8)
    2-) c(11,8)-c(10,8)
    3-) c(12,8)-c(11,8)

    şöyle özetleyebiliriz =)

    1. Bu uygulamayı 30 basamaklı , rakamları toplamı ne olsun örneğin 150 eden sayıların sayısını bulabilecek şekilde düzenleyebilirsen gerçekten tebrik etcem seni.

      bir yorumunda yazdığın gibi 19 basamaklı basamakları toplamı 29 eden sayıların sayısı verdiğin formülle bulunamaz.

      1. Onu sorunun diğer yöntemlerle çok zor çözülebileceğini vurgulamak için söylemiştim.. güzel bişey olduğunu düşündüğüm için paylaşmak istedim ama dediğini başarabilirsem söylerim =)

        1. Formülünün dediğim soruyu çözmediğinin farkındaysan sorun yok. sadece çözümünün toplamı 9dan büyük olan sayılar için doğru sonuç vermeyeceğini belirtmek istemiştim. toplam 9 dan büyükse farzedelim 26, bir tane 10luk bir basamağa dağıtılır ve kalan 16 toplamı için aynı soru çözülüp tüm durumlardan çıkarılır sonra sayımız aynı zamanda 20den de büyük olduğu için iki tane 10luk dağıtılır ve kalan 6 için aynı soru çözülüp tüm durumlara eklenir vesaire vesaire, üzerinde fazla durmaya gerek yok.
          burda benzer şekilde çözülmüş tavla zarıyla ilgili bir soru vardı ama şimdi bulmaya üşendim, yeniden denk gelince sorunun altına yazarım.

          1. Haklısın kardeşim.. formül de basamak sayısının artmasında bir sorun yok ama toplam 10 veya üstü olunca 10 çeltiğin de aynı basamağa gelmesi durumlarının da çıkartılması gerekir. ztn 19 basamaklı toplamları da 26 eden sayılar astronomik bir durum =)

    2. C(9,2) nin de mantıklı olmasını şöyle izah edebiliriz: solda en az 1 adet çentik olmak zorunda yani diğer bir deyişle 7 çentik ve 2 ayraçlı tüm durumların soluna 1 çentik koymakla aynı şeyi elde ederiz.

      Bu da C(9,2) sonucunun rastgele uymadığını ve gerçek ve daha kısa bir çözüm olduğunu bize gösterir.

Bir cevap yazın