Reklam Alanı

On Altı Rakamlı Sayı

Bu soru 17 Ekim 2015 tarihinde ElMidyadi tarafından gönderildi

1, 2, 3, 4 ve 5 rakamlarını kullanarak 16 basamaklı bir sayı oluşturacaksınız. Kuralımız, yan yana bulunan her iki rakam için, bunların ya aynı olması, ya da en az birinin 1 olması. Bu kurala göre kaç farklı sayı oluşturulabilir?

Facebook'ta Paylaş

4 votes, average: 5,00 out of 54 votes, average: 5,00 out of 54 votes, average: 5,00 out of 54 votes, average: 5,00 out of 54 votes, average: 5,00 out of 5 (4 Üye oyladı, Ortalama puan: 5,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: ,


“On Altı Rakamlı Sayı” için 2 Yorum

  1. aga dedi ki:

    Çok güzel bir soru, öncelikler teşekkür ederim böyle düşündürücü bir soru için.

    Ben genel çözüm için bir çalışma yaptım, izaha çalışacağım. Önce tanımlamaları yapalım;

    Basamak Sayısı: BS
    bu basamaklarda kaç Adet 1 bulunduğu: Adt_1
    bu basamaklarda kaç Adet Diğer rakamların bulunduğu: Adt_D = BS – Adt_1
    1 haricindeki Rakamların Sayısı: RS = 4 ==> {2,3,4,5)

    Şimdi var olan 1’lerin sağında ve solunda sadece birer adet kutu olduğunu düşünelim. Örneğin 2 adet 1 var ise 3 adet kutu olduğunu düşünüyoruz dizilişi şu şekilde olan: Kutu , 1 , Kutu , 1 , Kutu
    Örnekten de anlaşılacağı üzere Kutu Sayısı 1’lerin adedinden hep 1 fazla olacaktır. Dolayısıyla;

    Kutu Adedi: Adt_Kutu = Adt_1 + 1

    Bu kutulara sadece 1 harici rakamlar koyulacaktır. Burada genel formülü çıkardıktan sonra 1’lerin kaç adet olabilme ihtimaline göre (ki burada 0’dan 16’ya kadar 17 adet ihtimal var) hesap yapılacaktır.

    Bu kutulardan tüm olası seçimleri yaparak içlerine 1 harici diğer rakamlardan en az bir tane koyacağız. Bu durumda seçilen (içinde rakam bulunan) kutu adedi, Adt_D’nin sıfır olmadığı durumlar için en az 1, en fazla ise Adt_D ve Adt_Kutu’dan küçük olanı kadar olabilecektir. Çünkü mevcut kutulardan daha fazla kutu seçimi yapılamayacağı gibi eğer Adt_D, kutu sayısından fazla ise en fazla Adt_D kadar kutu seçimi yapılabilinir.

    Seçilen Kutu adedi: Sç_Kutu ≤ minimum(Adt_D, Adt_Kutu)

    Şimdi devam etmeden önce aşağıdaki problemi irdeleyelim.

    Soru: Elimizde 10 adet misket ve 3 adet kutu var ise bu misketleri bu kutulara kaç farklı şekilde koyabiliriz?

    Cevap: 12! / (10! * 2!)
    Açıklama: mmmmmmmmmmII karakterlerinin kaç farklı dizilimi vardırın cevabı bu sorunun cevabı olur.
    Çünkü ‘m’ misketleri sembolize ederken ‘I’ lar da bu misketlerin AYRAÇlarını yani kutuların en sol ve en sağ kenarı hariç düşey kenarlarını temsil ediyor gibi düşünebiliriz (Ayraç sayısı kutu sayısının 1 eksiği olur). Soldaki ‘I’nın solunda kalan ‘m’ler 1. kutudaki misketleri; iki ‘I’ arasındaki ‘m’ler 2. kutudaki misketleri ve sağdaki ‘I’nın sağında kalan misketler de 3. kutudaki misketleri gösterir. Buradan da sonucu bulmak için toplamdaki bu 12 karakter 12! şeklinde dizilip; kendi içinde tekrar eden ‘m’ler 10! ve ‘I’lar da 2! şeklinde aynı dizilimi yapacağından sonuç: 12! / (10! * 2!) olur.

    Yukarıdaki örnek kutuların bir kısmının boş kaldığı tüm ihtimalleri de içermektedir.

    Gelelim bizim soruya. Bu sorudaki fark ise seçilen her kutuda en az 1 adet 1 harici rakam olmasıdır. Bu engeli ise önce her birine 1 adet rakam koyulmuş gibi düşünüp konacak rakamların adedinden seçilen kutuların adedini çıkararak basit bir çözüme ulaşırız;

    serbest Dağıtım yapılacak Diğer rakamların Adedi: Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu
    seçilen Kutuların Ayraç sayısı: Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1

    Sonuç olarak belirli sayıda (Adt_1) ‘1’ rakamı bulunduran ‘BS’ adet basamak sayısına sahip kombinasyon adedi:

    Sç_kutunun 1’den olası en büyük edeğerine kadar TOPLAM(
    C(Adt_Kutu, Sç_Kutu) * RS^Sç_Kutu * ((Adt_DD+Ayr_Kutu)! / (Adt_DD! * Ayr_Kutu!)) )

    Buradaki terimler ise:

    C(Adt_Kutu, Sç_Kutu) : Mevcut kutular içinden verilen kutu seçim sayısı için kaç farklı seçim yapılabileceğinin kombinasyonudur. C(a, b) = a!/((a-b)! * b!)

    RS^Sç_Kutu : ‘1’ harici rakamların her bir ‘1’ ile ayrılması sonucu oluşacak ihtimalleri gösterir. Yani örneğin bu soruda sadace 1 adet 1 bulunsun ve o da 3. karakter olsun. Bu durumda 2213333333333333 gibi kaç tane kurala uygun sayı yazılabileceğini gösterir. Burada görüleceği üzere 1’in soluna 4 adet diğer rakam gelebileceği gibi sağına da 4 adet rakam gelebilir dolayısı ile 4^2 ihtimal doğurur. ‘1’ burada kutu ayracı olduğu göz önüne alınırsa her bir seçilmiş (dolu) kutu (bu örnekte 1’in solunda ve sağında olmak üzere 2 kutumuz var) için 4 yeni ihtimal çıkacağından diğer rakamların sayısı üzeri seçilmiş (dolu) kutu sayısı toplam ihtimallerin sayısını oluşturur.

    ((Adt_DD+Ayr_Kutu)! / (Adt_DD! * Ayr_Kutu!)) : Bu kısım ise sanırım misket örneği ile gayet net açıklanmış durumdadır (ki aslında bu da C(Adt_DD+Ayr_Kutu, Adt_DD) şeklinde de ifade edilebilinir).

    ilk birkaç örneği yapalım:
    __________________________________________________________
    1. ihtimal 0 Adet 1:
    Adt_1 = 0
    Adt_D = BS – Adt_1 = 16 – 0 = 16
    Adt_Kutu = Adt_1 + 1 = 0 + 1 = 1
    Sç_Kutu = 1 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(16, 1) = 1)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 16 – 1 = 15
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 1 – 1 = 0

    C(1, 1) * 4^1 * ((15+0)! / (15! * 0!)) = 4
    __________________________________________________________
    2. ihtimal 1 Adet 1:
    Adt_1 = 1
    Adt_D = BS – Adt_1 = 16 – 1 = 15
    Adt_Kutu = Adt_1 + 1 = 1 + 1 = 2
    Sç_Kutu = 1 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(15, 2) = 2)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 15 – 1 = 14
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 1 – 1 = 0

    C(2, 1) * 4^1 * ((14+0)! / (14! * 0!)) = 8

    Sç_Kutu = 2 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(15, 2) = 2)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 15 – 2 = 13
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 2 – 1 = 1

    C(2, 2) * 4^2 * ((13+1)! / (13! * 1!)) = 224

    TOPLAM: 8 + 224 = 232
    __________________________________________________________
    3. ihtimal 2 Adet 1:
    Adt_1 = 2
    Adt_D = BS – Adt_1 = 16 – 2 = 14
    Adt_Kutu = Adt_1 + 1 = 2 + 1 = 3
    Sç_Kutu = 1 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(14, 3) = 3)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 14 – 1 = 13
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 1 – 1 = 0

    C(3, 1) * 4^1 * ((13+0)! / (13! * 0!)) = 12

    Sç_Kutu = 2 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(14, 3) = 3)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 14 – 2 = 12
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 2 – 1 = 1

    C(3, 2) * 4^2 * ((12+1)! / (12! * 1!)) = 624

    Sç_Kutu = 3 (en az 1, en fazla minimum(Adt_D, Adt_Kutu) = minimum(14, 3) = 3)
    Adt_DD = Adt_D – Sç_Kutu = 14 – 3 = 11
    Ayr_Kutu = Sç_Kutu – 1 = 3 – 1 = 2

    C(3, 3) * 4^3 * ((11+2)! / (11! * 2!)) = 4992

    TOPLAM: 12 + 624 + 4992 = 5628
    __________________________________________________________

    1 adedinin 0’dan 16 ‘ya kadar olan 17 ihtimalin toplamları ise: 64570081

    0) 4
    1) 232
    2) 5628
    3) 74384
    4) 586100
    5) 2843256
    6) 8534764
    7) 15738400
    8) 17705700
    9) 12192520
    10) 5212636
    11) 1406640
    12) 241748
    13) 26264
    14) 1740
    15) 64
    16) 1

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.