“Lagrange’ın 4 Kare Teoremi” üzerine 7 yorum

  1. şimdi bu soru anlaşılmadı bn bir cevap yazayım anladığım kadarıyla
    sonra siz doğru yanlış filan yazın olay netleşmiş olsun
    8 in çarpanları denildiğinde
    8k şeklindeki sayılarımı anlıyoruz
    yoksa
    (8 in çarpanları olan 1,2,4,8 sayılarını mı anlıyoruz
    tek kare derken neyi kastediyoruz yani tek sayıların karesi mi
    sonra bu tek sayılar birbirinden farklı olmak zorunda mı?

    1. istersen toplayabilirsin, toplarsan da Lagrange’ın 4s teoremine ters düşmezsin , teoreme göre her tamsayı en fazla 4 (1,2,3) tane tamkare toplamı şeklinde yazılabilir. örneğin her n sayısı n tane 1 in karesini toplarsan bulunabilir ama bu teoremden güçlü bir ifade değil.

  2. aşağıda yazacağımdan çok daha kısa bir çözüm bulmuştum ama eksik olduğunu farkettim. Lagnrange teoreminden daha güçlü bir teoremle eksiklik gideriliyodu ama saçma bişey yapmış olurdum. neyse en azından çözüm yapabildim
    uzun da olsa umarım anlaşılır,
    —————–
    8 modunda sayıların karelerine bakalım
    0^2=0 , 1^2=1 , 2^2=4 , 3^2=1
    4^2=0 , 5^2=1 , 6^2=4 , 7^2=1 (mod8) (*)
    n=8k ise
    n=(8x+2)+(8y-2) olacak şekilde 2 parçaya ayrılır. (x+y=n , y en az 1 olacak şekilde)
    ve bu 2 parçanın herbiri Lagrange teoremine göre en fazla 4 tamkare toplamıdır
    (*)’a göre bu 2 parçanın herbiri tam olarak (ne eksik ne fazla) 2 tane tek kare ve 2 tane çift kare içerir (çift karelerden hepsi birden olmamak kaydıyla bazıları 0 olabilir, hepsi 0 olamaz çünkü 4 tek karenin toplamı mod8 de 4 tür.)
    8x+2=(t1)^2 + (t2)^2 + (ç1)^2 + (ç2)^2
    8y-2=(t3)^2 + (t4)^2 + (ç3)^2 + (ç4)^2 olsun

    t1 , t2 , t3 , t4 tek sayılarını bir kenara not edelim
    —-
    bu 4 tek sayının kareleri toplamı 8 modunda 4 olduğuna ve çift sayıların kareleri de ya 4 ya 0 olduğuna göre elimizde kalan 4 çift sayıdan 1 veya 3 tanesi 8 modunda karesi 4 olan çift sayılardandır yani
    4s+2 şekillidir kalan 1 veya 3 tanesi de 4 e tam bölünür yani 4r şekillidir.

    şimdi buradan sonrasında bir denklikten faydalanalım
    her a,b,c,d,z,y,x,w için
    M=(a^2+b^2+c^2+d^2)
    N=(z^2+y^2+x^2+w^2) iken
    Q=(az+by+cx+dw)
    T=(ay-bz+cw-dx)
    E=(ax-bw-cz+dy)
    R=(aw+bx-cy-dz)
    ise
    M*N=(Q^2)+(T^2)+(E^2)+(R^2) eşitliği sağlanır

    ilk önce elimizde kalan çift sayıların 3 tanesinin 4 e bölündüğü bir tanesinin 4s+2 şekilli olduğu duruma bakalım ve genelliği bozmadan ilk 3 tanesi 4s , 4. sü 4j+2 şekilli olsun bu durumda
    yukarda verilen denklikte z=y=x=w=1
    ve a=(ç1)/2 , b=(ç2)/2 , c=(ç3)/2 , d=(ç4)/2
    seçersek
    a,b,c çift , d tek sayı olur ve denklğimizde
    M*N çarpımı tam olarak 4 çift sayımızın kareları toplamıdır , denkliğimizin sağ tarafından elde edilen Q,T,E,R sayılarıın hepsi de tek sayı olacağından kalan 4 tek sayımız bunlar olacaktır ve
    n=(t1)^2 +(t2)^2+(t3)^2+(t4)^2+Q^2+T^2+E^2+R^2 olacak şekilde 8 tek kare toplamı sağlanır

    çift sayılarımızdan yalnız 1 tanesi 4 e bölünüp diğer 3 tanesi 4s+2 şekilli olduğu durumda da aynı şekilde seçilen a,b,c,d,z,y,x,w sayıları için ortaya çıkan Q,T,E,R sayıları aranan tek sayılar olacaktır.
    sonuçta 8k şekilli yazılabilen her sayı 8 tek kare toplamı olarak gösterilebilir.

    1. ilk bulduğum ama soruda istendiği gibi Lagrange Teoremini kullanmayan çözüm:

      Legendre Teoreminin bir sonucu olarak 8s+3 şekilli her sayı en fazla 3 tamkare toplamı olarak yazılabilir.
      bu sonuçtan faydalanabilirsek;

      yukardaki yorumda (*)’dan dolayı 8s+3 şekilli bir sayı en fazla 3 tamkare toplamı olarak yazılabiliyoısa bunların hepsi tek olamlıdır.
      bu tek sayılara ilaveten 5 tane 1 sayısı seçildiğinde tüm bu 8 tane tek sayının kareleri toplamı
      =1+1+1+1+1+(8s+3) = 8s+8 olur
      her k için s=k-1 seçildiğinde
      8s+8=8k olacağında her k için 8k sayısı 8 tek kare toplamı olarak yazılmış olur.

Bir cevap yazın