Küp İçine Küre Yerleştirme




Bu soru 08 Aralık 2009 tarihinde MyNameis_HIDIR tarafından gönderildi

Kenarı 1 br olan küp şeklindeki bir kutunun içine çapı 1 br olan bir küre yerleştirilip, kapağı kapatılır. Şimdi haliyle küre ile kutumuzun köşeleri arasında ufak boşuklar kaldı. Bu boşluklara yerleştirilebilecek en büyük kürenin çapı nedir?

a) Pisagor bağıntısı kullanılarak bu soruyu çözebilir misiniz?

b) Cisim köşegeninin √3 olduğu bilgisi verilmişken, pisagor bağıntısının işlendiği dersi kaçıran Ali için bu soruyu pisagor kullanmadan çözebilir misiniz?



Facebook'ta Paylaş

8 votes, average: 2,63 out of 58 votes, average: 2,63 out of 58 votes, average: 2,63 out of 58 votes, average: 2,63 out of 58 votes, average: 2,63 out of 5 (8 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,63)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , , , ,


“Küp İçine Küre Yerleştirme” için 18 Yorum

  1. mky06 diyor ki:

    1: (kök2 – 1) / 2

    2: bir cetvel kullanarak küpün kesitini çıkartıp kesit üzerinden çapını ölçe bilirsin :d

    • MyNameis_HIDIR diyor ki:

      Bu da güzel bi yaklaşım ne diyeyim, yapmadığım bişey değil.

      ciddi sınavlarda genelde geometri sorularında şekiller ölçülü çizilirdi, sorulan açı ya da uzunluk için göz kararı bir değer tespit edip ona göre çözüm yaptığım çok olmuştur :)

  2. sahin diyor ki:

    ılk yorumu yaparak; olaya heyecan katalim, derim.

    a- evet mumkun, cunku; kupun diagonal kesitini yeterli olacaktir. bu kesitden cikan, iki boyutlu sekil uzerinden, pisagor theoremi uygulanarak, denklem grubu olusturabilir ve buradan, kucuk kurenin capi hesaplanabilir.

    b- evet mumkun, yine kupun diagonal kesitinden elde edilen iki boyutlu sekil uzerinde, benzer ucgen theoremini kullararak gerekli iliskiler kurulabilir ve sonuca ulasilabilinir.

    not: cozume simdilik girmiyorum. bu yorumu, sadece bir giris mahiyetinde yapiyorum.

  3. argyle diyor ki:

    Soruya 2 boyutlu baktığımızda sanırım cevap değişmeyecektir.
    yani karenin içine daire yerleştirerek te bu soruyu çözebeiliriz.
    Bu durumda cevap ta (V’2-1)/2 olmalı(Karekök2 – 1)/2:)
    =0,207 br. gibi bi şey

    • MyNameis_HIDIR diyor ki:

      Ne yazık ki soruya 2 boyutlu bakamayız en azından baksak bile sanki içine yerleştirme yapacağımız 2 boyutlu şeklin kare değil de kübün köşegenine paralel bir izdüşümü olmalı gibi geliyo bana.

  4. suavim diyor ki:

    bir birim karelik kübün içine 0.5 brlik küreyi yerleştirdik.köşelere yerleştirebilecek en büyük hacimli kürenin yarıçapını bulabilmek için üçgende benzerlikten yararlanıcağız.√3 brlik cisim kösegleiri çekelim. bunların kesiştiği nokta hem kübün hem de kürenin merkezidir.bu noktadan 8 yüze sahip kübün herhangi bir yüzeyine dik çekelim bu uzunluk 0.5 birimdir.birde kübün merkezinden köşegene doğrumuzu çekeli bu uzunluk ta √3/2=0.866254038 birimdir.
    hesaplamalarımızı bu köşegen üstünde yapalım.köşegen uzunluğunun arısından içine yerleştirdiğimiz kürenin yarıçapını cıkaralım(0.866254038-0.5=0.366254038)kalan bu parca içine ufak kürenin hep çapını hemde boşluk payını içinde abarındırır.hepsini çap olarak düşünmek cok cok büyük bir hatadır.bu uzunluğa 2r+a diyelim.artık benzer üçgenlerimizi olusturalım.büyük üçgen=kübün merkezinden yüzeydeki karenin merkezine oradan seçmiş olduğumuz köseni oradan tekrar kübün merkezine doğrumuzu cekip büyük üçgenimizi olusturalım.küçük üçgen=yerleştirecegimiz ufak üçgenin merkezinden küp yüzeyündeki karelerden büyük üçgen için seçtiğimiz kareye dik çekelim ayrıca bu uzunluk ufak kürenin yarıçapı olup r uzunluğundadır.radan aynı köşegenimize ordan ise tekrardan merkezi birleştirip ufak üç genimizi de oluşturduk.bu benzerliği ufak kürenin yarıçapı bulmak için kullanıcağız.benzerlik için kenar uzunluklarını bulmustuk 0.5 birim uzunluğunun 0.866254038 birime oranı; r uzunluğunun r+a uzunluğununa eşittir.0,5r+0,5a=a.0,866254038 eşitliği oluşur.2r+a nın 0.866254038 oludugunu bulmuştuk.a’yı yalnız bırakıp 2r+a eşitliğinde uyguladığımızda r=0.1340582822 birim çapımız ise 0.2681165644 birim olur.

    • MyNameis_HIDIR diyor ki:

      Bu çözümün üstüne sonuç neden bu kadar farklı diye bakıyordum ki kök3/2 nin 0,866025 olan değerini yanlışlıkla 0,86625 aldığını gördüm. neyse bunlar mesele değil güzel ve açıklayıcı bir çözüm olmuş, eline sağlık.

      ———-

      şimdi bi tane çözüm bulunduktan sonra başka çözüm bulunması/istenmesi pek hoş olmuyo ama daha kısa ve böyle şekille çok fazla ilgilenmeyen bir çözümü olduğunu söyleyebilirim (belki daha farklı çözümleri de vardır bilemiyorum). biraz zaman geçsin bulunmazsa ben yazarım.

  5. egulderen diyor ki:

    Hızlıca sallıyorum :)
    :
    kesitten bakınca bir ikizkenar üçgene sığmaya calışan bir daire oluyor köşedeki küre sanırım..

    yüksekliği (0,866025-0,5) = 0,366025 olan bir ikizkenar üçgenin içindeki en büyük dairenin çevresi tüm kenarlara teğettir. merkezi kenarortayların kesim noktası olan bir çemberde kesim noktasının kenara uzaklığı, yüksekliğin 1/3 üdür…o da r olur..

    2r=d= 2*[0,366025)/3] = 0,244

    gerçi açıklanan cevaptan farklı bu ama olsun iyi denemeydi :)

    • MyNameis_HIDIR diyor ki:

      Dediğim gibi buradan bulunur ama kesit alınca o üçgenin yüksekliğinin alınan değerden farklı olacağını düşünüyorum. artık ne olacağını hesaplamak soruyu çözmekten zor olacağından ne kadar doğru bilemiyorum tabi (sonuçtan hareketle bulunabilir ama hile yapılmış olunur :) )

      bu arada evet iyi denemeydi :)

      • egulderen diyor ki:

        üçgenişn yüksekliğinden ben eminim ama aynı üçgenlerden mi bahsediyoruz :)

        kucuk kurenin buyuk kureye degdigi nokta a olsun. kucuk kurenin bulundugu kosedeki kupun kosesi de b olsun. ab uzunlugu bahsettiğim üçgenin yuksekligi ve buyuk kosegenin yarısından buyuk kübün yarıcapını cıkarttıgımızda bu yukseklik bulunmuş olunuyor..cunku kucuk kurenin merkezi diagonal uzerinde olmak zorunda..ve buyuk kureye dokunmak zorunda

        bu da h = : ((kök3)-1) / 2
        şimdi üçgenin yuksekligi bu…yani cok da uzun surmedi :)…ama icindeki dairenin merkezinin kenartoylar kesisiminde oldugunu isbatlamak zor..hatta ucgenin eskanar ucgen oldugunu da arada ispatlamak gerekebilir…

        ispatlanabilirse ;

        r = h/3 ….:) = ((kök3)-1)/6

        tekrar niye yazdım onu da bilmem.. :)

        • MyNameis_HIDIR diyor ki:

          Evet burada ab uzunluğu dediğiniz gibi (kök3-1)/2 oluyor ama çemberimiz öyle bir üçgen düşünüldüğünde onun kenarlarına teğet olamıyor.

          başka deyişle ben de 2 boyuta indirilip belli izdüşümler alarak çözüm bulunabileceğini düşünmüştüm ama hataymış. 2 boyutta durum biraz farklı oluyor.

          bu arada varsaydığımız üçgen de eşkenar değil. üşenmedim şekil çizdim :)

          http://img27.imageshack.us/img27/3055/sphereincube.jpg

          şekilde (kök3-1)/2 uzunluğunu yükseklik kabul eden üçgeni göz önüne alırsanız (kesit olarak bakıyoruz tabi) küre çember gibi düşünüldüğünde onun kenarlarına temas etmiyor sadece tabanına teğet o kadar.

          buradan nasıl çözebiliriz diye düşününce de,
          küçük küremizin merkezini merkez alan ve küreyi içine alan teğet kübünü çizdiğimizde (kök3-1)/2 uzunluğunun
          r(kök3)+r olduğunu görüyoruz. (rkök3 kübün köşegeninin yarısı , r de yüksekliğin merkezden altta kalan parçası)

          buradan da r=(kök3-1)/(2*(kök3+1))=(2-kök3)/2 bulunuyo

          tabi pisagor fazlasıyla işin içinde ali bunu anlamaz :)

          ——-

          neyse ben kendi düşündüğüm çözüm için ipucu vereyim
          yukardaki şekilde yeni küreyle kübün köşesine bir küre daha sonrakine bir küre daha , sonra bir küre daha … yerleştirsek noolur?

          • egulderen diyor ki:

            Cizim muhtesem olmus..elinize saglık..harika gercekten..ancak benim bahsettiğim ucgen tam olarak cizdiginiz ucgen degil maalesef !

            benim dusundugum resimdeki ucgende kenarlara teğet gibi gorunuyor (belkide sadece gorunuyor :)) )

            http://img22.imageshack.us/img22/4396/kure1.jpg

            dolayısıyla bu cizimdeki cemberin merkezinin diyagonal uzerinde olduğunu kanıtlamaktan bahsetmistim…

            ote yandan en son verdiginiz ipucu da cok guzel…bir oran yakalandıktan sonra n sonsuza giderken r bulunur..guzel…!!

          • MyNameis_HIDIR diyor ki:

            Kırmızıyla çizilmiş 2 tane dik var ya onlarla çizimdeki üçgen aynı düzlemde değiller.

            diklerin birisi kürenin merkezinden kübün bi yüzüne diğeri de diğer yüzüne gidiyor, hatta 3. bi tane de üst yüze çizilebilir ve benzer mantıkla bu üçüncünün de diğer ikisiyle aynı düzlemde olması gerekir ki imkansız.

            kısaca şu 4 nokta aynı düzlemde değiller;
            küçük kürenin merkezi,
            kübün köşesi
            kırmızı diklerin kübün üstündeki ayak noktaları.

          • MyNameis_HIDIR diyor ki:

            Yine üşenmedim ve şekil çizdim :)

            kesit olarak aldığınız üçgen gri renkli olan. bizim kürenin merkezinden kübün yüzlerine ve diğer küreye indiğimiz yarıçaplar ise kırmzı silindirler.

            http://img697.imageshack.us/img697/2414/sphereincube2.jpg

            şekilden de göürüleceği üzere kürenin merkezi kesit üçgenimizin üzerinde değil, eğer küreninmerkezini üstüne alan başka bir üçgen seçersek bu sefer de yüzeylere teğet noktaları üçgenin üstünde olmuyo.

  6. sahin diyor ki:

    Her seyden once, ben soruyu su sekilde yorumladim; sorunun a kismi icin, tamamen pisagor teoreminin kullanilmasi istenmekte; b kismi icin, pisagor teoremi kullanmadan, yaricapin bulunmasi istenmekte. ama goruyorum ki, her ikiside net olarak cevaplanmamis.

    burada sunacagim cozum, tamamen benzer ucgenler teoremini dayali cozumdur. pisagor teoremine yer bermiyorum; cunku, asgi yukari yukarida sunulanlar ile parellelik arz ediyor; tek farkla, sadece pisagor teoremini kullanarak sonuca ulasiyorum.

    simdi kupumuzu diagonal boyunca, kesitini alalim. buyuk kurenin, merkezine a, bu kurenin ust kareye teget oldugu noktaya b, kupun kose noktasina c diyelim. ayrica, kucuk kurenin, merkezine e, bunun ust kareye teget oldugu noktaya f diyelim. bu durumda, abc buyuk ucgen, efc ise kucuk ucgeni olusturur. ve buyuk ucgen b noktasinda, kucuk ucgen f noktasinda dik aci olusturur.

    kupun bir kenearinin uzunlugu 1 oldugundan |ab|=1/2 dir. ayrica, b noktasi, usk karenin diagonalinin orta noktasi oldugundan |bc|=kok(2)/2. ayni sekilde, a noktasi, kupun diagonalinin, orta noktasi oldugundan, |ac|=kok(3)/2 dir. ve ayrica, e noktasi, ust karenin diagonali uzerindedir. |ef|, kucuk kurenin yaricapidir

    simdi, abc ve efc ucgenleri, acilari esit oldugundan, benzer ucgenlerdir. bu su demek, |ef|/|ab|=|fc|/|bc|=|ec|/|ac| dir.
    yani; |ef|/(1/2)=|ec|/(kok(3)/2); dolayisiyla, |ec|=kok(3)*|ef| dir.

    diger yandan, |ac|=|ae|+|ec| ve |ae|=buyuk kurenin yaricapi + kucuk kurenin yaricapi=1/2+|ef| dir. buradan hareketle; |ac|=1/2 + |ef| + kok(3)*|ef|=kok(3)/2 dir. bu esitlikten;
    |ef|=((kok(3)-1)/(kok(3)+1))/(1/2) bulunur.

  7. rahip006 diyor ki:

    Ben solitworks kullanarak yapardım cıkan sonuclada bır orantı kurar ve kac bırım olduhunu soylerdım ama solit yuklü dehil bılgısayarımda:=(

  8. org_77 diyor ki:

    Kalan boşluk
    0,5 ve 0,5 kenarlı bir ikiz kenar dik üçken
    diyagonali 0,707-0,500=0,207 ancak içine konacak kürenin çapı 0,207 olamaz.. bir kenar boşluğu daha kalır.. bu boşluk da 1 birim için “karekök 3″ diyagonale karşı geliyorsa orantı hesabından içine konacak kürenin çapı şöylece hesaplanabilir karekök3 / 1 = 1,114688
    ,207/1,114688 = 0,1857 gibi bişey çıkar.. bu çapta bir küre yerleştirilebilir.
    yanıt 0,1857 dir.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.