Reklam Alanı

İnatçı Karınca

Bu soru 07 Ağustos 2009 tarihinde ZekiAdam tarafından gönderildi

Bir ucu sabit diğer ucu özel bir mekanizmaya bağlı 100 cm uzunluğunda ve sonsuz elastikiyette(*) bantımız var. Sabit ucundan 1cm/s hızla yürüyen mekanik bir karınca bırakalım ve hedefi bantımızın diğer ucuna ulaşmak olsun. Yalnız karıncayı bıraktıktan sonra geçen her saniyenin sonunda bantımızın uzunluğunu diğer ucundaki mekanizmayı ileri kaydırmak suretiyle 100cm uzatalım. 1. saniye bittiği an mekanizmamız 100cm ilerlesin ve bantımız 200cm olsun 2. saniye bittiği an mekanizmamız 100cm ilerlesin ve bantımız 300cm olsun … 10. saniye bittiği an mekanizmamız 100cm ilerlesin ve bantımız 1100cm olsun gibi …

1- Acaba karıncamız bantın diğer ucuna ulaşabilir mi? Ulaşırsa ne kadar zaman sonra ulaşır?

2-Karıncamızın bantın diğer ucuna ulaşması için minimum hızı ne olmalıdır?

(*)Sonsuz elastikiyetten kasıt başlangıçtaki her noktanın bantmızın uçlarına uzaklığının oranının herhangi bir uzatma adımının ardından sabit kalması , başka deyişle bantımız 100cm iken 40. santimetresine siyah bir nokta işaretlesek bantımız 200cm olduğunda bu nokta bantın 80. santimetresinde, bantımız 500m olduğunda da bantın 200. metresinde olmalıdır.

Facebook'ta Paylaş

2 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 5 (2 Üye oyladı, Ortalama puan: 1,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,


“İnatçı Karınca” için 9 Yorum

  1. A.B. dedi ki:

    Elastik bant karıncayı uzama miktarı kadar sürükleyeceği için, karıncanın alacağı yol değişmez.

    • yuckfou dedi ki:

      Ne demek istediğini tam olarak anlamadım ama örnek vereyim belki eksik olan bişeylere açıklama getirmiş olurum.

      örneğin karıncamız ilk dakika sonunda 1cm yol gitmiş olur ama bantımız diğer ucundan bir anda 100cm daha uzatılacağı için boyu 200cm olacaktır ve karıncamız da 100cm lik bantın 1. cm sinde bulunurken birden bire hiç yol yürümeden 200cm lik bir bantın 2. cmsinde bulunur bir hale gelecektir, 1 dakika süre geçmiştir ve geriye 198cm yolu kalmıştır.
      2. dakika sonunda 1cm daha gidip 200cm lik bantın 3. cmsine ulaşır ve bir anda bantımız 100cm uzar ve artık karıncamız 300cm lik bir bantın 4,5. cmsinde bulur kendini 2 dakika geçmiştir önünde 295.5 cm yol vardır … :)

      sorumuz bu uzun yolculuğun sonunda karıncamız diğer uca ulaşır mı ulaşmaz mı? ulaşması için gereken minimum başlangıç hızı nedir?

      —-

      şimdi baktım da soruda dakika yerine saniye olarak sormuşum, farkeden bişey yok burada yazdığım dakikaları saniye farzedebilirsiniz.

  2. sahin dedi ki:

    yuckfou, beni biraz saşırttın bu soru ile. Onceki sorularinin kalitesine bakarsam bu biraz hafif kalmis. Neyse, bundan sonrakiler iyidir insallah.

    Neyse sorumuza gelirsek, bant saniyede 100cm uzyor. bu demek olur yor ki, hedef noktasinin hizi 100 cm/s; fakat karincanin hizi 1 cm/s oldugundan 99 cm/s hiz ile her saniye karincadan uzaklasiyor. Demek oluyor ki, karinca bu kosullar altinda hic bir zaman hedefe ulasamaz. Peki diyorsun ki, minimum hizi ne olmali; ee bu durumda, karincamiz, hemen bir turba temin etmeli ve hizini 100 cm/s ‘den buyuk yapacak sekilde karincamizin hizina hiz katsin. Dikkat! eger turbomuz, karincanin hizini 100 cm/s yapasa, zavalli karinca hic bir zaman hedefe ulasamaz. o nedele hiz 100 cm/s den buyu olmalidir. Bu kosulu herhangibir hiz, karincayi hedefe ulastirir. mesela 100,00000000001 (yani 100+ 0,00000000001). cm/s bu is icin bile yeterli olur.

    • yuckfou dedi ki:

      şaşırttığım için üzgünüm ama bu soru sorduğum en güzel sorulardan birisi :)
      lütfen soruyu ve hemen üstte yazdığım yorumu dikkatlice yeniden oku. karıncanın varmak istediği ucun kendisinden her saniye bittiğinde 99cm uzaklaşmadığını görebilirsin. elastik bantımız her uzadığında karıncanın o ana kadar yürüdüğü yol da bantın uzama oranı ( miktarı değil) kadar uzamaktadır.
      örneğin 100. saniye tam bitmek üzere iken bantımız 99 kere uzamıştır ve 10000cm dir. karıncamız da yaklaşık olarak 510. cm de falan bulunmaktadır. tam 100. saniye olduğunda zaman duracak ve bantımız birden 10100cm ye uzayacaktır. bunun sonunda karıncamız da 510.cm yerine 515. cm civarlarında bir yere taşınmış olacaktır tek farkla artık gitmesi gereken yol da haliyle uzamıştır 9490cm iken 9585cm oluvermiştir.
      sorumuz 1cm nin bu yolu tamamlamaya yetip yetemeyecek bir hız olduğudur?
      tamamlayan en düşük hızın ne olduğudur?

      örneğin 60cm/s hızın tamalayacağı aşikardır
      1. saniye sonunda 60cm yol alır ve zaman durur, bant uzadığı an artık 100cm lik bantın 60. cmsi yerine 200cm lik bantın 120. cmsine taşınmıştır.
      2. saniye sonuna kadar 200cm nin 180. cm sine taşınır, bant uzar ve artık 180/200 yerine 270/300 gibi bir pozisyona ulaşır
      ve yarım saniye daha geçtiğinde 30cm lik yolu tamamlayarak bantın uzamasına fırsat vermeden uca ulaşır.

      • sahin dedi ki:

        Helal.. Bak simdi siki adam oldugunu anladim. Yine, elestrin burada da ise yaradi. Haklisin,bant uzadigi icin, karincamizin yol adigi mesafede uzar. Zaten soruda belirtilmis. sasirdigim nokta, bunu nasil olup da goz ardi edebildigimdir. Sanirim, soruyu okurken, bir an icin, hedefi karincadan bagimsiz oldugu dusuncesi. Neyse, belirttigin gibi bu uzama islemi, karincaninda konumunu etkilemekte.

        Simdi bu nokytayi tespit ettikten sonra, cozum icin bir deneme yapalim. Sanirim buldugum sonuc degisik olacak. Ve yaptigim hesaplamara gore, karinca sonsuzda, bir yerde hedefe ulasir.

        Bu sonuca nasil ulastigima gelince; her seyden once, bu mantigi, bant uzerindeki her bir noktanin, uzunluga oranin daima sabit kaldigi hesabina dayanmakta. Bunu biraz acarsak;

        Bant uzunlugunun degisim serisi soyledir;
        1.sn sonunda uzunluk 200 olur
        2.sn sonunda uzunluk 300 olur
        3.sn sonunda uzunluk 400 olur

        n.sn sounda uzunluk (n+1)*100 olur

        Simdi bu uzunluk artisi sonunda, verilen bir Y noktasinin yeri ne kadar degisir?

        Bunun tespiti icin, asagidaki tespiti kullanacagiz

        (I) Her hangibir zaman dilimindeki Y notasinin 0 noktasina uzakliginin bantin uzunluguna orani daima sabittir ve degismez.

        n.sndeki bantin uzunlugu L1 ve bant uzerinde secilen nokta Y1 olsun,
        (n+1). sndeki bantin uzunlugu da L2 olsun ve Y2 de Y1 in elastikiyetten sonra yeni konumu olsun.

        Kosul (I) geregi Y1/L1=Y2/L2 dir. n.snde L1 uzunlugu (n+1)*100 ve (n+1).snde L2 uzunlugu (n+2)*100 dir. Bu iki bulgudan yola cikarak, Y2=Y1*(n+2)/(n+1) oldugunu buluruz. Ve bu L1 ve L2 arasinda da gecerlidir; yani L2=L1*(n+2)/(n+1) cunku hedef noktasi da bant uzerindeki son noktadir.

        Simdi n.snde iken hedefe olan uzaklik ile (n+1). sndeki hedefe uzakligi karsilastiralim;

        n. snde hefe uzaklik L1-Y1 dir
        (n+1). snde hedefe uzaklik L2-Y2 o da (L1-Y1)*(n+2)/(n+1) dir.

        Yani;
        (II) L2-Y2=(L1-Y1)*(n+2)/(n+1)

        simdi, karincanin bu konumunun nasil etkilendigine bakalim.

        Yine karincanin n.sndeki konumunda, 0 noktasina uzakligina Y1 diyelim; zaman n.snden (n+1).sn arasinda 1 cm ilerler ve n.snnin sonunda konumu Y1 + 1 olur. (n+1). sniyeye gecildiginde, yeni konumu (Y1+1)*(n+2)/(n+1) olur. Simdi n.sndeki hefe olan uzakligi ile (n+1). sndeki hedefe olan uzkaligi karsilastiralim.

        n.sndeki uzakligi L1-Y1 iken; (n+1).sndeki uzakligi, (II) deki esitligi kullanarak, (L1-Y1-1)(n+2)/(n+1) olur

        yani;

        (III) L2-Y2=(L1-Y1-1)*(n+2)/(n+1)

        Bu demektir? Bu su demektir, sonsuda bir n.ci saniyeyi secelim; bu durumda, L2-Y2 yaklasik olarak L1-Y1-1 dir. Dire bir deyisle, (n+1). sndeki hedefe olan mesafe, n. sndeki hedefe olan uzakliktan bir eksiktir. Yani, hedefe olan uzaklik, yeteri zaman sonunda azalmaya baslamaktadir. Ve karincamiz, yeteri zaman sonra hedefine ulasip; ve hedefe ulasmanin keyfiyle, kendisine buz gibi bir kola alir ve derin bir ooohhh ceker.

        Ozetle; evet karinca hedefe ulasir; ama cok ama cok uzun zaman alir. Bu arada, baslangicta hedef uzaklasiyormus gibi gelsede, belli bir sure sonra bu durum tersine doner, ver hedef olan uzaklik azalmaya baslar.

        bu durumda, minimum uzaklik gibi durumdan baksetmek pek mantiksizdir. Cunku, 0’dan buyuk herhangibir positif deger karincamizi deger ulastiracaktir. Yani; 0,000000000001 bile yeterli olabilir.

        NOT: bu cozumu, bir deneme niteliginde sunuyorum, eger bir mantiksizlik gozunuze ilisirse, luten not dusun. Dusun ki, bende durumdan haberdar olayim.

        • sahin dedi ki:

          Duzeltme:
          bu durumda, minimum hiz gibi bir durumdan bahsetmek pek mantikli degildir. cunku, 0?dan buyuk herhangibir positif deger karincamizi hedefe ulastiracaktir. yani; 0,000000000001 bile yeterli olabilir.

          • yuckfou dedi ki:

            çok fazla iç içe geldiği için yorumunla ilgili yorumumu genel soruya yazacağım.

  3. yuckfou dedi ki:

    ılk önce 2. şıktan başlayalım
    evet dediğin gibi min. hızdan sözedilemez çünkü min. olarak belirlenen herhangi bir hız için 0 a daha yakın başka bir değer bulunabilir ve ilerde göstereceğimiz gibi 0 olmayan her hızla da bu uzun yol eninde sonunda tamamlanmaktadır.

    şimdi soruun 1. şıkkı için yaptığın çözüme bakalım
    evet yaklaşımın ve çözümün oldukça doğru fakat hızlıca üzerinden geçerken farkettiğim ufak bi noktanın daha açığa kavuşturulması gerekiyor gibime geldi sanki.
    l(k) k. saniyedeki bant uzunluğu olarak tanımlanmış ve (k+1 )*100 olarak hesaplanmış bu tanıma göre bence
    ııı nolu maddede yeterince büyük bir n sayısı alınıp
    l2-y2 = (l1-y1-1)*(n+2)/(n+1) için l2-y2 = l1-y1-1 olur demek bana biraz sakıncalı gözüktü çünkü l sayısı da n e birinci dereceden bağlı bir değer. ( dediğim gibi ayrıntılı bir şekilde bakamadım – belki bunun üzerinde durulması bile gerekmiyordur )
    — —- —-
    sonuç olarak sorunun 2 şıkkını da çözmüş olduğunu düşünüyorum ama yine de kendi çözümümü daha kısa olduğunu düşündüğüm için yazmak istiyorum

    herhangi bir saniye dilimi için bantın uzadığını değil de artık karıncamızın hızının bantın uzama oranının tersi kadar azaldığını düşünebiliriz. örneğin 1. saniye boyunca hız 1cm/s , 2. saniye boyunca hız 1/2 cm/s , 3. saniye boyunca hız 1/3 cm/s … gibi

    burada sorulan artık
    1+(1/2)+(1/3)+…+(1/n) toplamının herhangi bir n sonlu sayısı için 100 ü geçip geçemeyeceğidir.

    bu da 100 yerine belirlenebilecek herhangi bir k sayısı için geçerlidir ki bu dizinin genel olarak ln(n)* ye yaklaştığını söyleyebiliriz.

    (*)ln(n) olarak sorun yaşayanlar için de dizimizin herhangi bir k sonlu sayısını nasıl geçtiğini gösterebiliriz. örneğin dizimizin toplamı sonsuz değil de bir k tamsayısının altında kalsın
    o zaman dizimizin ilk 2^(2k+1) terimini şu şekilde gruplandıralım;
    (1)+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/((2^2k)+1)+…1/(2^2k+1))
    bu işlemde her parantezin içindeki toplamın 1/2 den büyük olduğu açıktır toplam 2k tane parantez vardır ki hesapladığımız toplam k dan büyük olmalıdır yani ilk 2^2k+1 terimin k yı muhakkak geçtiğini görmüş olduk.

    —–
    not:buna benzer ve çok çok çok daha meşhur şu her seferinde hızını yarıya düşüren karınca sorusuyla beraber güzel bir ikili oluşturacağını düşündüğüm bir soru
    ilk gördüğümde ben de karıncanın ulaşamayacağını düşünmüştüm ama soruyla biraz uğraşınca bırakın 1cm/s hızı 10^(-100)cm/s hızla bile yolu bitirebildiğini görmek insanın matematiğe hayranlığını arttıracak cinsten

  4. ogan dedi ki:

    Soru çok hoş öncelikle bunu belirtmek istiyorum.Sorunun o kadar da uzun bir çözümü olmadan da anlaşılabilir.Sizden farklı bir şey söylemeyeceğim ama daha bu şekilde daha anlaşılır olacağını düşünüyorum.Öncelikle bu karıncanın başladığı noktaya olan uzaklığına y diyelim(biraz yürümüş olsun).Her saniye 100 metre çekildiğinde bu karınca y*100/100 den y kadar ilerleyecektir.Bu hızını hesaba katmazsak.Karıncanın çok ufak da olsa var olan hızı y mesafesini artıracaktır ve belki de yıllar sonra o y uzaklığı 100 ü geçecek.İşte kırılma noktası da burası.100ü geçtiken sonra 100den büyük rakamlarla ilerleyecektir(her 100lük çekişte y kadar ilerleyeceğini belirtmiştik)Bu saatten sonra her zaman hedefe yaklaşır ve en nihayetinde hedefe ulaşmış olur.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.