Reklam Alanı

İki Matematikçi

Bu soru 16 Ağustos 2009 tarihinde ahmetekin tarafından gönderildi

İki matematikçimiz olsun. İki sayımız olsun toplamları 100 den küçük sayıların ikisi de ayrı ayrı birden büyük sayılar. Matematikçilerimizin birincisine bu sayıların toplamı verilsin, diğerine bu sayıların çarpımı verilsin.

Bu iki matematikçimizin arasında şöyle bir konuşma geçer.

Çarpımları bilen matematikçi: Ben bu sayıların ne olduğunu bulamayacağım, der.

Toplamları bilen matematikçi: Ben zaten bulamayacağını biliyordum, der. Bunun üzerine

Çarpımları bilen matematikçi: O halde ben bu iki sayıyı buldum der. Ardından

Toplamları bilen matematikçi: sen bulduysan ben de buldum der.

Bu iki sayı nedir?

Not: Bir yerde gördüm bu soruyu ama cevabını hala öğrenemedim.

Facebook'ta Paylaş

1 vote, average: 2,00 out of 51 vote, average: 2,00 out of 51 vote, average: 2,00 out of 51 vote, average: 2,00 out of 51 vote, average: 2,00 out of 5 (1 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , ,


“İki Matematikçi” için 13 Yorum

  1. yuckfou dedi ki:

    Biraz düşündüm ama sanki çözümü çok zor bulunacakmış gibime geldi.

    ilk önce çarpım verilenin sözlerinden yola çıkalım;
    bulamadım demesi ne demektir?
    diyelimki elinde 34 var , bulabilir miydi evet bulurdu 2 ve 17 derdi çünkü 34 ün başka çarpanı yok ( 1 – 34 hariç sorumuz 1 den büyük olduğunu belirtmiş)
    demekki eline verilen sayının pozitif bölenlerinin sayısı 4 ten büyükse bu matmatikçimiz cevabı bulamayacaktır. bu da p ve q asalken p*q şekilli hiçbir sayının eline verilmediğini gösterir.

    şimdi eline toplam verilen matematikçimizi düşünelim , onun “bulamayacağını biliyodum” diye kesin bir yargıya varabilmesi ne anlama gelmektedir. elindeki sayı p ve q asal olmak üzere hiçbir şekilde p+q değildir, örneğin elindeki kağıtta 55 yazıyoken bu iddiada bulunamaz çünkü 55 = 53 +2 olup çarpım verilen matematikçiye pekala 106 sayısı verilmiş olabilir ve onun da sayıların 2 den büyüklüğünü kullanarak 53 ve 2 yi bulması çok kolaydır.
    şimdi bu elemeyi yaptığımızda (bu eleme bile başlı başına zor) toplam olarak sadece (sadece denecek kadar az değil de hadi neyse :) )
    11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97 toplamlarından birinin yazılı olduğunu anlamış oluruz.

    şimdi buradan sonrasını incelemek biraz beni aşıyor gibi geldi açıkcası burdan sonrasını çözebileceğimi düşünmüyorum biraz zor.
    11 toplamının verilmiş olduğunu varsaydım
    çarpım verilene 30,28,24,18 verilmiş olabilir ve bu sayılardan hangisi verilirse verilsin çarpım verilen ben çözemedim diyecektir doğal olarak. sonra elinde 11 toplamını tutan matematikçi ben zaten çözemeyeceğini biliyodum diyecektir çünkü elindeki toplam 2 asal sayının toplamı olarak yazılamıyor. ama bu bilgiyi alan 1. matematikçi elinde 30 olmadığı sürece
    28 varsa sayılara 4,7
    24 varsa 3,8
    18 varsa 2,9 diyerek b,ilecektir çünkü sayıların toplamının o listedekilerden biri olduğunu bilmektedir.
    bu durumda elinde 11 toplamını tutan matematikçi de karşındakinin elinde sadece 30 çarpımı olmadığını bilecektir çünkü 30 olsaydı bilemeyeceğini bilecektir ( 30 hem 5,6 toplam 11 hem de 2,15 toplam 17 ile toplamlar listesinde yer alıyor) ama sayıları bilemeyecektir çünkü 28,24 ve 18 olup olmadığını belirleyememektedir

    bu incelemeden anlaşılacağı üzere sorunun çözümü çok çok çok uzun sürmektedir ve beni aşmaktadır. listedeki her toplam için o toplamdaki sayıların çarpımı alınmalı ve o çarpımı veren tüm sayı ikilileri bulunmalı ve o ikililerin toplamının sadece 1 tanesi tek başına o listedeki sayılardan birini vermeli falan filan inanın yazarken zorlanıyorum çözmek ancak bir bilgisayar programı yardımıyla olur, diğer türlü ben kesin bi yerlerde bişeyleri atlarım hata yaparım

    ———
    ama sorunun tek cevabı olduğu hilesine başvurursak;
    sayı toplamını elinde tutan matematikçinin kağıdında 11 yazmadığını yukarda görmüştük, şimdi 17 yazdığını varsayıp
    2*15 , 3*14 , 4*13 , 5*12 , 6*11 , 7*10 , 8*9 çarpımlarına bakalım
    30 çarpımı için 1. nin sayıları bilemeceğini biliyoruz (11 veya 17 olabilir)
    42 için (2*21 – 23 ile , 3*14 – 17 ile toplamlar listesinde olabilir)
    52 için ( tek çözüm 3*14)
    60 için (3-20 ve 5-12)
    66 için (2-33 ve 6-11)
    70 için (2-35 ve 7-10)
    72 için (3-24 ve 8-9 ile listemizde olabilir)
    kısaca toplam olan matematikçide 17 yazarken 1. biliyosa elinde sadece 52 yazıyo olabilir ve toplam yazan kişi de elindeki o 52 toplamını belirleyebileceğinden sayıların 4 ile 13 olduğunu anlayabilir.

    yukarda da belirttiğim gibi bu koşula uyabilecek başka sayı grubu olmadığını varsaydığımızda çarpım olarak 52 sayısının toplam olarak 17 sayısının verildiğini sayıların da 4 ve 13 olduğunu söyleyebiliriz.

    not: hata yaptığım noktalar olabilir :)

    • yuckfou dedi ki:

      Normal şartlarda yeni yazılmış bir soruya cevap yazmayı pek sevmiyorum ama yaptığım tam bir çözüm olmadığı için tam çözümü yapabilecek arkadaşlara yardımı dokunabilir ve benim eksiklerimi de kapatabilirler düşüncesindeyim.
      bu soruyla uğraşacak arkadaşlara şimdiden kolay gelsin.

  2. pinar.t dedi ki:

    1) carpimci bulamadigina gore; bu sayilarin ikisi birden asal degil.
    2) toplamci onun bulamayacagindan %100 emin olduguna gore, elindeki toplama 2 asal sayinin toplanmasiyla ulasilamiyor. ulasilabiliyor olsaydi, carpimcinin elinde bunlarin carpiminin olabilecegini de goz onune alir ve bulamayacagini bildigini soylemezdi.
    benim gorebildigim kadariyla 100’den kucuk boyle 24 adet tek sayi var. bu da sayilardan birinin tek birinin cift olmasini gerektiriyor.
    3) carpimci bu bilgiyi aldiktan sonra elindeki sayinin carpanlarini bu 24 sayidan birini verecek sekilde ikiye ayirabilir. “buldum” demesi icin de 2. bir seceneginin olmamasi lazim.

    bir ornek vereyim;
    carpimcida 18 toplamcida 11 olsun. carpimci 18’i 2×9 ya da 3×6 olarak ayirabilir. ama 3+6=9 ve 9 sayisi asal olan 2 ve 7’nin toplamlarindan olusabileceginden elenir ve carpimci icin cozum 2 ile 9 olur. yani “buldum” diyebilir.
    elinde 11 olan toplamcinin secenekleri ise 2-9, 3-8, 4-7, 5-6’dir. carpimci bulabildigine gore, 2. bir cozum secenegi olmayan bir carpim olmalidir elinde. 2×9=18 carpimi carpimci icin tek seceneklidir ornegin basinda yazdigim gibi. ne yazik ki 3×8 ve 4×7 de tek seceneklidir. yani onlarda da carpimci “buldum” diyebilir. bir tek 30 carpimini veren 6-5 ve 2-15’in her ikisinin de toplamlari 2 asal sayiyla elde edilemeyecek toplamlar oldugundan ikisi de carpimci icin cozum olabilir ve dolayisiyla carpimci “buldum” diyemez.
    bilemiyorum ne kadar acik anlatabildigimi ama yani toplamcinin “buldum” diyebilmesi icin de elinde carpimciya “buldum” dedirtebilecek tek secenek olmasi lazim.

    gorebildigim kadariyla (hata yapmadiysam) 4 ve 13 sayilari bu konusmalari yaptirtabilir. ama baska cozumler de var mi bilemiyorum. baska cozum yoksa, bunun ispatini bulmak lazim.

  3. yuckfou dedi ki:

    Soru kafama takıldı yukarda yazdığım eksik çözüm beni kesmedi bi program yazıp tüm sayıları denttirdim :)

    o yazdığım
    t={11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77
    ,79,83,87,89,93,95,97}
    toplamlar kümesinin her elemanı için oluşacak tüm toplamları hesaplattım ve bu toplamların sadece 1 kere oluştuğu durumları saydım

    sırasıyla 3,1,2,5,4,7,3,7,7,15,8,166,12,17,11,18,22,18,20,25,27,28,30,30
    buldum yani ilk bulduğumuz 3 sayısı toplam 11 ken elinde çarpımı bulunduran matematikçinin bulmasını mümkün kılan değişik 2 lilerin sayısı (9,2) , (8,3) , (7,4) gibi , 11 için 4 değişik çarpım oluşmakta ama 30 çarpımı yukardaki çözümde de anlatıldığı gibi sadece 11 in listesinde geçmemekte
    kısaca bu listenin sonucu olarak elinde toplam olan matematikçinin de cevabı bilebilmesi için sadece 1 tane 1 kere oluşan sayı yani 17 toplamının verilmiş olduğu, çarpımın da 52 olduğu , sayıların da 4 ve 13 olduğu görülüyo.
    yukardaki yorumumda da yazdığım gibi bunu kağıt kalemle bulmak biraz zor olurdu sanki ama bi yandan da 2 değişik 1 e ulaşıldığı an işlemin bitirilmesinden dolayı belki de kağıt kalemle de yapılabileceğini söyleyebilirim.
    neyse umarım daha güzel çözümler bulanlar olur, çünkü bilgisayar yardımıyla çözüm yapmak bana pek hoş görünmüyo.

    son bişey daha söylemek istiyorum bu incelemeyi 2 matematikçinin konuşma esnasında nasıl yaptıklarını hep merak etmiş ve kıskanmışımdır :)

  4. bktbyz dedi ki:

    Bu iki sayı 2dir.

    2+2=4

    2×2=4

    madem iki matematikçi birbirinin durumuna göre sonucu biliyorsa sonuc aynıdır.

  5. sahin dedi ki:

    Evet, guzel bir soru; bu soruda bir eksiklik varmis gibi geldi; ornegin, her iki matematikcimiz, sayilarin birden buyuk toplamlarinin 100’den kucuk oldukalrini biliyorlar mi? yoksa sadece biz mibiliyoruz. Ama ben, matematikcilerimiz bu durumdan haberdar olduklarini dusunerek soyle bir deneme yapiyorum.

    Her seyden once, sayilarin toplamlari tek midir cift midir? Eger toplamini verdigimiz matematikci kendinden emin bir sekilde, carpimi verilen matematikcinin bulamayacagini dusundugune gore toplamlari tek olmalidir. Eger cift olsa idi, toplamini bilen matematikci, toplamlari cift olan asal sayilari bulacak ve bu asal sayilarin carpimi verilmis olabilecegini dusunerek, diger matematikcinin bilip bilmeyeceginden emin olamazdi. Halbuki toplamlar tek ise, surasi kesindir ki, toplami bilen matematikci, carpimi bilen matematikcinin kesin bir sonuca ulasamayabcigini bilir. Ayrica, bu toplam, hic bir zaman p+q seklinde olamaz (Burada p,q asal sayilari gostermektedir); cunku, eger oyle olmus olsa idi, carpimi bilen matematikci kendisinden emin olamazdi.

    Simdi, carpimi bilen matematikci derki, bulamadim; ve toplami bilen der ki, biliyordum. Bu dialogdan, carpimi bilen matematikci su kanaate ulasir ki, sayilarin toplami tektir. Aksi halde, carpimi bilen matematikci kendinden bu kadar emin olamazdi. Bir sonraki dialogdan anliyoruz ki, carpimi bilen sayilari buluyor; bu su demektir. demekki, sayilarin carpimi ciftir ve sadece ve sadece bir tek cift sayi ve tek sayi carpanlarina ayrilabilir; aksi halde, carpimi bilen matematikci buldum diyemezdi. Bu durumda, carpanlardan biri 2 ve katlari olabilir, digeri ise tek asal sayilarin carpimi olmalidir. Peki birden fazla tek asal sayi olabilir mi? Hayir olamaz, cunku birden fazla cift ve tek carpani olacagindan, carpimi bilen matematikci yine bulamazdi. Dolayisyla, sadece ve sadece bir tek asal sayi carpani olmalidir. Simdi diyologun son kismina bakilirsa, toplami bilen de sayilari bulmaktadir. Bu su demektir. Toplam bilen matematikci, dusunur ki, carpimlarda sadece ve sadece bir tane tek asal sayi vardir; ve buldugu ikililerden birden fazla tek asal sayi carpani iceren ikilileri elimine eder. Ve toplami bilende sayilari bildigine gore, elimine islemi sonucunda sadece ve sadece bir tane ikili kalmalidir.
    1’den 99 kadar toplamlari inceledigimizde, bu kosulu saglayanlaradan bir tanesi, 17 dir. Olmasi gereken sayi ikilisi 4 ve 13 olmalidir. Sayilarin carpimi ise; 52 dir.

    NOT: Eger cozumde tutarsizlik veya mantiga uygun gelmeyen bir eksiklik noksanlik tespit ederseniz; lutfen haberim olsun. Ve umarim, ortaya koydugum cozum, istenilen sonucu saglar.

    • sahin dedi ki:

      Not: yukaridaki yazimda belirtmeyi unuttum; isin asli, cozum zaten daha once, pinar ve yuckfou tarafindan verilmis. ancak, ben bu cozumu, mantik silsilesi yada mantik akisi acisindan bir alternatif olarak sunuyorum. burada sunulan mantigin ozu itibariyle digerleriyle hic bir farki yok; sadece detayda ve mantik oykulendirmesinde farkliliklar var.

  6. qstar dedi ki:

    2 si ayrı ayrı diyor soruda.

  7. admin_x dedi ki:

    Bu sorunun cevabı 1 den fazla bence

    • yuckfou dedi ki:

      Yukarda soru için yaptığım ilk yorumda 1 tane çözüm buldum ve sorunun cevabının tek olacağını varsayıp cevap budur diye bıraktım, yani ondan hariç olabilir kümesinde kalan sayıların olmayacağını göstermedim ama sonradan yazdığım yorumlardan görülebileceği üzere kalan sayıları da bilgisayar yardımıyla denedim :) yani bu koşullar altında (sayıların toplamı 100 den azken) tek cevap yukarda 3 değişik kişinin benzer yöntemlerle bulduğu (4,13) ikilisi.
      ———–
      sorunun sayı sınırı kaldırıldığında yani 100 den küçüklük koşulu olmadığında da tek cevabının (4,13) olduğunu düşünüyorum ama bunun ispatının yapılmasının biraz zor olduğunu düşünüyorum en azından yukardaki soruya çözüm getiren yaklaşımla yapılamayacağını düşünüyorum. çünkü yukardaki yaklaşımda goldbach hipotezi(her çift sayı 2 asal sayı toplamı olarak yazılabilir) gibi matematiksel olarak doğruluğuna inanılan fakat henüz ispatlanmamış bazı kabullerden faydanılması gerekmekte. yani bu sorunun tek cevabının her koşul altında (4,13) olması çok kuvvetle muhtemel bilgisayar yardımıyla yeterince büyük sayılar için gösterilebilir de ama ispatlanabilir mi bilemiyorum :)

      • dresk222 dedi ki:

        Farklı bakış;
        sayılarımız 3 ve 4 tür.

        • yuckfou dedi ki:

          Sayılarımız 3 ve 4 olsa;
          çarpım verilende 12 olurdu toplam verilende 7 olurdu

          1-şimdi elinde 12 çarpımı olana bakalım
          (2,6) , (3,4) çarpımlarını düşünebileceğinden tıpkı soruda belirtilen gibi ben bulamadım diyecekti

          2-şimdi elinde toplam olarak 7 yi gören matematikçiye bakalım
          (2,5) , (3,4) şeklinde olabileceğinden bilemeyeceğini biliyodum diyemezdi çünkü 2*5 = 10 çarpımı karşısındakinde olsa 10 için tek çözüm (2,5) olacaktı. ama bişey varki elinde 7 bulunduran matematikçi çarpımcı sonucu bulamadığı an sayıların (3,4) olduğunu bulur, sayıları bulmak ayrıdır karşındakinin zaten bilemeyeceğini iddia etmek ayrıdır.
          demekki (3,4) çözüm değildir.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.