Reklam Alanı

Havuz Problemi

Bu soru 25 Ağustos 2009 tarihinde ZekiAdam tarafından gönderildi

40 ton su alabilen dikdörtgenler prizması (kibrit kutusu) şekilli bir havuzumuz olsun. Havuzu biri dolduran ve doldurma hızı sabit diğeriyse boşaltan ve bu boşaltma hızı havuzda bulunan suyun o anki yüksekliğiyle orantılı (amaç gerçek hayata uydurmak :) ) 2 musluğumuz olsun. Havuzdaki su tam olarak 30 tonken bu iki musluktan akan suların hızı eşit olduğuna göre;

havuz boşken ve 2 musluk da aynı anda açıldıktan 1 saat sonra havuzumuzda 10 ton su birikiyorsa , musluklar açıldıktan 3 saat sonra ne kadar su birikmiş olur?

Not: Tabiki diferansiyel denklem bilgisi kullanılarak çözülebilir ama çözüm lise matematiğini aşmadan da yapılabilir.

Facebook'ta Paylaş

2 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 5 (2 Üye oyladı, Ortalama puan: 1,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,


“Havuz Problemi” için 31 Yorum

    • yuckfou dedi ki:

      Takdir edersinki bunun cevap olması için hem dolduran hem boşaltan musluktan akan suların hızının sabit olması gerekir ama dolduran musluğun hızı sabit diyelim ki 30lt/dk (atmasyon bir sayı , tabi ki hızı bu değil) , bu durumda boşaltan musluğun başlangıçtaki hızı 0 dır ama havuzda 30 ton su varken de 30lt/dk dır. havuzda 15 ton su varken de 15lt/dk dır. kısaca havuzdaki su yükseldikçe tahliye hızı da artmaktadır.

  1. aytmatowx dedi ki:

    ıntegralsiz ,türevsiz çözülemez çünkü havuzu boşaltan musluğun hızı basınca göre değişken

    • yuckfou dedi ki:

      Notta da belirttiğim gibi diff. kullanarak çok çok çabuk (belki de differential in en basit uygulaması olurdu okulda falan sorulsa) ve kolayca çözülebilir ama ben liseyi aşmadan da çözülebileceğini düşünüyorum(hatta çözülür diyorum).

      ipucu gibi olacak sanırım, belli aralıklarla akan suyun miktarları toplanıp soru çözülebilir. tabi bu toplama işlemine kalkıp integral diyebilirsin zaten integral toplamaktır ama bu kadar masum bir toplamayı “integral kullanmadık” olarak kabul ediyorum.

      bir ipucu daha vereyim lisede bize radyoaktif elementlerin yarıömürleri ile ilgili sorular sorarlardı. işte 400 yıl yarıömrü olan bir maddenin 800 yılda ne kadarı bozulur gibisinden. doğal olarak %75 i bozulur der geçerdik.
      bu ipucu da biraz fazla kaçtı ama olsun :)

    • aytmatowx dedi ki:

      Dolduran musluğun hızını yaklaşık 200 m^3/dk buldum
      henüz ortada çözüm yok …
      bu soru benzerleri calculus kitaplarında vardı
      yine integralsiz bulunanlar tam olmayacaktır yaklaşık olacaktır .

      • yuckfou dedi ki:

        Dolduran musluğun hızı 500*ln(3/2) ~ 202,73 lt/dk
        bu değere diff. gibi lise dışı konular kullanmadan ulaşılamaz bence,

        sorunun çözümünde bu değere ihtiyaç yok.

      • aytmatowx dedi ki:

        Burada birimde yanlışlık oldu kg veya litre olacaktı
        b u yazım hatası ilk hesaplamadada aynı bulundu

        cevap yaklaşık 22 tondur aslında yine 22 tondan biraz azdır
        bu değere ihtiyaç duymayan çözümler vardır ancak bu değer
        inde yaklaşık doğru olduğu ortada

        *en güzeli elimize bir calculus kitabı alıp çözüm yapmak
        yinede bu şartlar altında 22 ton doğruya yakındır

        • yuckfou dedi ki:

          Evet şu ana kadar soruya verilenler arasında en yakın cevap 22 (22 den az olduğunu da söylemişsin o da doğru).

          ben tam sonuç istiyorum :)

        • yuckfou dedi ki:

          Daha yeni sayılabilecek bir soru olduğundan cevabı yazmıycam ama yeniden yukarda yazdığım radyoaktif bir elementin yarı ömrü ipucuna bakmanı tavsiye ediyorum.

          • aytmatowx dedi ki:

            21,333 dahada yakın bir sonuç

            bu şekilde hesaplamalar sürekli hata içerir.işte sürekli daha küçük dilimlere bölmeniz lazım sonsuz küçüklüğe bölmek lazım ki o zamanda zaten int diffrential olur.elementin yarı ömrü yaklaşımını şimdilik anlamadım…

  2. splendor dedi ki:

    25,2 mi?
    basit bir grafikle cozdum

  3. pinar.t dedi ki:

    ıslem hatasi yapmadiysam, yaklasik 20,84 ?

    • pinar.t dedi ki:

      21,06 civari cesitlerimiz de var ama ben bu soruda carsaf oldum.

      • pinar.t dedi ki:

        neden carsaf oldugumu anlayabilmek ve anlatabilmek icin soyle basit bir soru sormak istiyorum yuckfou:

        3 ayri durum var elimizde, soyle ki;

        1) dolduran: dakikada 60 litre dolduruyor,
        bosaltan; her dakikanin sonunda tum suyun % 25’ini bosaltiyor.
        2) dolduran: 15 saniyede 15 litre dolduruyor,
        bosaltan; her 15 saniyenin sonunda tum suyun % 25’ini bosaltiyor.
        3) dolduran: 15 saniyede 15 litre dolduruyor,
        bosaltan; her 15 saniyenin sonunda tum suyun % 11,183’unu bosaltiyor.

        her 3 durumda, 1. dakika ve 2. dakika sonundaki su miktarlari nelerdir?

        • yuckfou dedi ki:

          Tam olarak ne demek istediğini anlayamadım ama

          1)45 – 78.75
          2)30.76 – 40.49
          3)45.00 – 73.00

          dakika bazında işlem yapınca böyle bişeyler oluyo
          ilk sayı 1. dakika sonra , 2. sayı 2. dakika sonrası

          • pinar.t dedi ki:

            Sunu demeye calistim ki, sectigin birim zamana gore sonuc da degisiyor. modeli dakika bazinda kurdugunda farkli, 15 saniye bazinda kurdugunda farkli.

          • yuckfou dedi ki:

            Belki de birim zaman seçmek gerekmiyodur

          • pinar.t dedi ki:

            Hah iste ben de o bakis acisini merakla bekliyorum! integral de olsa, dizi de olsa, fena halde zaman batagina saplandim cunku.

  4. mozart dedi ki:

    21.75 gibi bi deger buldum ama dogrumudur bilmem
    yada buna cok yakin bir deger diye dusunuyorum

  5. sahin dedi ki:

    Guzel bir soru. En azindan, soruyu lise bilgilerine dayanarak cozme kosulu; soruya karsi ilgimi artirdi diyebilirim. Yani soru, yuckfou’nin belirttigi gibi, differantial denklemler veya integral gibi araclar ile cozulebilir. Ancak, ‘lise bilgisiyle, basit bir sekilde nasil cozulebilir?’ sorusu olarak algilandiginda, soru daha bir ilginc soru haline donusuyor.

    Cozume gelince, henuz elimde elle tutulur bir sey yok. Fakat, cozumu bulur bulmaz en kisa zamanda sizler paylasacagim. (Tabii hizli cikip benden once, cozumu bulmaz iseniz.)

  6. aytmatowx dedi ki:

    Bn çözümde kullanmasamda elementin yarı ömrü ile olayda şöyle bir ilgi var havuzda 40 ton su olsun 20 tona düşmesi için geçen zaman
    20 tondan 10 tona düşerken geçen zamana eşit niye?
    şimdi 40 ile 20 arasında boşalma sürecinde etkiyen basınç dolayısıyla
    boşalma hızı 20 den 10 a düşerken etkiyen basıncın iki katı
    *işte elementin yarı ömrü ile olan ilgi burada
    not:bu anlayışı muhtemelen zaten çoğu insan anlamıştır.fakat ısrarla istenen illada bu analyışa dayalı çözüm henüz ortada yok

    *fakat burada bir adıma daha ihtiyaç varki henüz çözmüş değilim .
    bnm çözümüm daha farklı yöntem içeriyor 21,333 ton

    • yuckfou dedi ki:

      Yok ben asla bi çözüm şu şekilde yapılmalı yoksa olmaz demem istersen dif. kullan çöz farketmez ama lise matematiği kullanılarak çözüm var demek istedim. bu arada herkes yakın sayılar buluyo 21.333 , 20.75 , 21.06 ama nasıl bulduklarını(zı) bilemiyorum sanırım zamanı ufak parçalara bölüp her zamanın başında dolan miktarı toplayıp boşalan miktarı çıkarıyorlar. bu yolla tam sonuç elde edilmesi imkansız tabi zaamn aralığını 0 a götürüp integral alınmadıkça.
      bilemiyorum belki farklı yollardan çözün olur ama benim aklıma kendi bulduğumdan başka yol gelmiyo.

  7. yuckfou dedi ki:

    normalde yayınlandıktan sonra 10 gün falan geçince sorulara çözüm yapılmamışsa ben yazıyodum , bu soru haddinden fazla durdu bile diyebiliriz.
    halen uğraşanların affına sığınarak çözümümü yazmak istiyorum, uğraşmaya devam etmek isteyenler okumayabilirler.

    şimdi 2 farklı (aslında aynı) yola başvurabiliriz.
    ——-
    birinci yol:
    havuzumuzun 30-40 ton arası kısmı sorunun mevcut koşullarında hiç kullanılmaz ve gereksizdir. bu noktadan itibaren havuzumuzu 30 ton kabul edeceğiz.
    şimdi yanyana 2 tane havuz düşünelim;
    1. havuz 30 tonluk ve soruda anlatılan havuz
    2. havuz ise 1. havuzumuzun 1 saat sonraki halinin kalan kısmı yani 20 tonluk bir havuz ve yine tam 20 tonu doluyken giren-çıkan sular eşit olan bir havuz

    bu 2 havuzu dolduran muslukların hızları oranı 2/3 olmalıdır.
    şimdi havuzlar boşken aynı anda tüm musluklar açılsa herhangi bir t anında 2. havuzdaki suyla 1. havuzdaki suları karşıaştıralım.
    herbir birim zamanda 2. havuza ilk havuzun 2/3 ü kadar su akar bu 2/3 akıştaki suyun yüksekliğe bağlı boşalan kısımları oranı da 2/3 olur yani 2. havuzumuz sanki ilk havuzun 2/3 oranında küçültülmüş bir hali olur
    1. havuzda 1 saatte 10 ton su birikiyosa 2. havuzda 1 saatte 20/3 ton su birikir
    bu iki havuzu üst üste koyduğumuzda 2 saatte 10+20/3 =50/3 ton su birikir
    benzer şekilde kalan kısmı başka bir havuz kabul edersek
    1 saatte de o kalan kısmın 1/3 ü dolar yani (40/3)/3=40/9
    3 saatte birikecek su miktarı 10+20/3+40/9
    =190/9 olur , yaklaşık 21.111 lt (bu değere çok yakın cevaplar verildi zaten)
    ——–
    2. yol:
    şimdi havuzumuzu ters düşünelim ve boşlukla su birbiriyle yerdeğiştiriyoruz. başlangıçta havuzumuz tam dolu olduğuna göre şu an tam boş ve alttaki bir musluktan su akarak boşalmaya başlasın
    akan suyun miktarı yüksekliğe bağlı olsun. bu şekilde tanımladığımız havuzdan boşalan suyun herhangi bir t anındaki miktarı sorumuzdaki havuzun dolma (dolduran musluk değil dolduran-boşalan anlamında söylüyoruz) hızına eşittir. aynı zamanda havuzda ne kadar miktar su varsa tahliye hızı onla orantılı olacağına göre tipik bir radyoaktif element bozunma yapısı olduğunu görebiliriz. 1 saatte belli bir miktarın 1/3 ü bozunuyosa ondan sonraki 1 saat öncekinden bağımsız olarak kalan miktarın 1/3′ ü bozunarak işlem devam eder.
    yani her saat kalan miktar başlangıçtakinin 2/3 ü dür
    3 saat sonunda havuzumuz (2/3)^3=8/27 üne kadar boşalacaktır.
    19/27 si boşalmış olacağından toplam tahliye olan su miktarı
    19/27*30=190/9 olur
    soruda sorulan havuzun tersi alındığına göre
    burada kaçan su 190/9 ise ilk havuzda dolan su 190/9 tondur.

    umarım lise matematiğini aştığımı düşünen olmaz. bana göre calculus devreye sokmadan 2 farklı (tekrar etmek gerekirse aynı yollar aslında) yoldan tam (dif. ile bunun tam sonuç olduğu görülebilir) sonuca ulaştık.

    • yuckfou dedi ki:

      Aslında bu kadar uzatmadan her saat kalan kısmın 1/3 ü dolar diyip kesitirip atmak da mümkün ama açıklayıp kafalardaki soru işaretlerini yoketmek gerektiğini düşündüm.

      sorunun bu şekilde çözülmesini sağlayan kilit nokta akan-tahliye olan su miktarlarının eşit olduğu nokta olan 30 tonun verilmiş olması. her türlü lise matematiği ile çözülür.

      • pinar.t dedi ki:

        cozumun uzerine hicbirimiz bir sey yazmayinca, sanki yok saymisiz gibi bir hisse kapildim. “cozumunu gordum” deme ihtiyacindayim. ama henuz ikincisini okumadim cunku birincisinde takili kaldim. ilk okudugumda, “tuh be!” dedim cunku farkli konulardan bu yaklasimi biliyordum ama hic aklima gelmemisti. ama daha “tuh be!” olan su ki, (muhtemelen dogru olmasina ragmen) aklima yatiramadim henuz. bosaltma sabitini degistirmemek kaydiyla doldurma ve dolayisiyla dolma hizi 2/3’e inen ve lakin 10 tonu yok sayilan yeni havuzun es bir model oldugunu ispatlamadan da huzur bulamayacagim. ve lakin bu havuz sorusuyla ugrasmaktan bana ogggk geldi. ispat isini bir sure ertelesem galiba iyi olacak.

        • yuckfou dedi ki:

          Boşaltma sabiti diye bişey yok, boşaltma bir neden değil sonuç , yüksekliğin sonucu o ana kadarki toplanabilen suyun neden olduğu bir sonuç
          30 tonluk ve 20 tonluk 2 havuzu yanyana koyup ilkine dolan suyun hızını 3 2.sininkini 2 ile orantılı seçersen
          süreyi başlattığında 2 havuzda oluşanlar biribiryle doğal olarak 2/3 orantılı olur.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.