Reklam Alanı

Fiyatların Toplamları ve Çarpımları Eşit

Bu soru 14 Ekim 2009 tarihinde MyNameis_HIDIR tarafından gönderildi

Alican elinde sadece madeni 1 liralıklarla bakkala girer. Bakkaldan 3 parça bişeyler alır. Ne kadar ödemesi gerektiğini sorunca bakkal aldıklarının fiyatlarını çarptım tam elindeki parayı ödersen uygundur der. Alican da fiyatları çarpmak yerine toplamasını, bakkal ise bunun ödenmesi gereken tutarı değiştirmeyeceğini söyler.  Bu 3 üründen en az 1 tanesi 1 liralıklarla alınamadığına göre (fiyatı küsüratlı, ör:2,77 lira)

1.Alicanın elinde en az kaç tane 1 liralık olabilir?

2.Alicanın elinde en az sayıda 1 liralık varken (1. şıkkın koşulları altında), bu 3 üründen en pahalısını almıyor ve halen elindeki 1 liralıklarla para üstü almadan tutarı ödeyebiliyorsa, bu almadığı en pahalı ürün en fazla kaç para olabilirdi?

3.Aynı (1. şıktaki) koşullar altında Alican ürünlerden en ucuzunu almadığında halen tutar 1 liralıklarla ödenseydi bu en ucuz ürün en az kaç para olabilirdi?

Örneğin bu ürünlerin fiyatlarından en az 1 tanesinin küsüratlı olduğu koşulu getirilmeseydi ve hepsi tamsayı olsaydı Alican’ın en az 6 lirası olmalıydı ve ürünlerin fiyatları da 1,2,3 lira olabilirdi. En pahalı ürün alınmadığında tutar 3 lira olup 3 tane 1 liralıkla ödenebildiğine göre en pahalı ürün 3 liradır derdik. Benzer şekilde en ucuzu da 1 lira derdik.

Facebook'ta Paylaş

5 votes, average: 1,80 out of 55 votes, average: 1,80 out of 55 votes, average: 1,80 out of 55 votes, average: 1,80 out of 55 votes, average: 1,80 out of 5 (5 Üye oyladı, Ortalama puan: 1,80)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , ,


“Fiyatların Toplamları ve Çarpımları Eşit” için 11 Yorum

  1. asliersin dedi ki:

    1) 1 tane olabilir
    1. ürün 1.1111111111 lira
    2.ürün 0.9 lira
    3.ürün 1 lira

    1.1111*0.9*1=1 tabi yaklaşık olarak

  2. sahin dedi ki:

    Hic bir yorum yapilmamis bu soruya; neyse ben ilk yorumu yaparak giris yapayim. sadece, giris mahiyetinde, aklima ilk gelenleri paylasmakla yetiniyorum;

    p1,p2,p3 urun fiyatlari olsun; bize verilen kosul, p1*p2*p3=p1+p2+p3=tam sayi ve en az bir tanesi kusuratli oldguna gore, p1+p2+p3 in minimum degeri, 3 den az olamaz. (ispat: (p1+p2+p3)/(p1*p2*p3)=1/p2*p3 + 1/p1*p3 + 1/p1*p2=1 ve buradan, p1*p2>1, p1*p2>1 ve p2*p3>1 olmasi gerekmektedir. ve buradan, en az iki fiyat 1 den buyuk olmasi gerekmektedir, ve kusuratlarin toplami en az 1 olmasi gerektiginden, p1+p2+p3 >= 3 dur) bu durumda, olmasi gereken deger 3,4,5,6,7… den biridir.

    3 ve 4 icin sorumuzun 2. kismi gerceklestiren cozumlerin olup olmadigini control ettgimizde, bunlarinda aranan kosullari saglamadigini buluruz. minimum deger 5,6,7,8… den biri olmalidir. benzer bir analizi, 5,6,7,8… yaptigimizda, aranan miktarin 7 oldugunu buluruz -ki bu degeri kabaca yaptigim analiz sonucundan ulastigim icin, bunun dogrulanmasi gerekiyor-. (analiz icin asagidaki method uygulanabilir; p1=k+a,p2=l+b,p3=m+c, -1<a<1,-1<b<1,-1<c<1 ve k,l,m dogal sayilar olsun; bu durumda p1*p2*p3=p1+p2+p3 ise, (k+a)*(l+b)*(m+c)=k+l+m + a+b+c denklemini, a+b+c=-2 veya -1 veya 0 veya 1 veya 2 olma durumlarina gore 5,6,7,8… degerleri sirasiyla analiz edilebilir.)

    bu durumda, sorunun ikinci kismina verilebilcek cevap 3 dur. ve ucuncu kismina verilebilecek cevap ise 1 dir.

    not-ı:
    eger aranan miktarin 7 oldugu dogrulanirsa;

    sorunun ikinci kismi icin;
    p1=3
    p2=2+(5/3)^1/2
    p3=2-(5/3)^1/2

    sorunun ucuncu kismi icin

    p1=3+(2)^1/2
    p2=3-(2)^1/2
    p3=1

    not-ıı: eger duzeltmeyi gerekli kilan bir noktayi yada hatayi fark ederseniz lutfen not dusun.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      yazdığım soruyu unutmuştum tam fiyatlardan en az bi tanesinin küsuratı olduğunu nereden çıkardın diycektim ki soruda ben yazmışım :)

      neyse neredeyse soruyu çözmüşsün ama inceleme adımlarının neler olduğunu bilmediğim için nerede hata yaptığını bilemiyorum.
      Alican’ın elinde en az 7 tane 1 liralık olması sonucu doğru değil. 2. ve 3. şık da bu en az sayıdaki para sayısı üstüne dayandırılması gerektiği için o şıklara verilen cevaplar her ne kadar doğru da olsa bişey değiştirmez diyebiliriz.

      • sahin dedi ki:

        Pardon Hidir, biraz gecikmeli yaziyorum. Anladigim kadariyla minimum mikta 7 degil. Isin dogrusu, kabaca yaptigim mantik su sekilde idi;

        Diyelim, K,L,M dogal sayilar olsun, a,b,c de (-1,1) acik araligin elemani olsun. Ve diyelim P1=K+a, P2=L+b, P3=M+c; bu durumda, aranan esitlik su sekilde olur;
        (K+a)*(L+b)*(M+c)=K+L+M + a+b+c dir. ve a+b+c, {-2,-1,0,1,2} kumesinin elemani olmalidir. (Cunku, fiyatlarin toplami tam sayi olmalidir)

        Minimum miktar, sorunun 2.nci kismini da gerceklestirmesi gerektiginden, fiyatlardan buyuk olani tam sayi olmalidir. Bu durumda, diyelim K tam sayi ise, a=0 dir. Buradan haraketle; asagidaki esitlik bulunur.

        K*L*M + a*K*M + K*b*M + K*L*c + K*b*c = K+L+M + b+c ve b+c, {-1,0,1} kumesinin elemani olmalidir.

        buradan, b=(K+L+M + c – K*L*M -K*L*c)/(K*M + K*c – 1) olarak buluruz. Ve b<1 olmasi gerektiginden; su esitsizligi elde ederiz;
        c>-1 oldugundan,
        K>(L+M)/(M-L+L*M-2) sonucuna ulasiriz. Minimum deger arandigindan, bu esitsizligi saglayan en en kucuk (L,M) ikililerini kontrol etmek, K’nin alabilecegi en kucuk degerinin tespiti icin gereklidir (yeterli olmasi icin asagida belirttigim kosullarin ayni anda saglanmasi lazim). Ve fiyatalardan en az iki tanesi, birden buyuk olmasi gerektiginden, (L,M); (0,0) olamaz, dolayisiyla, esitsizlik (1,0) yada (0,1) ile kontrol ederek baslanmalidir. ve yeterlilik icinde, bu esitsizligi saglayan (K,L,M) degerleri,
        b=(K+L+M + c – K*L*M -K*L*c)/(K*M + K*c – 1) ve b+c=-1 yada b+c=0 yada b+c=1 esitliklerini de saglamalidir. Yani,

        1-K>(L+M)/(M-L+L*M-2)
        2-b=(K+L+M + c – K*L*M -K*L*c)/(K*M + K*c – 1)
        3-b+c=-1 yada b+c=0 yada b+c=1

        kosullarini saglayan en kucuk, (K,L,M) degerlerini bulmak, gerek ve yeterli olacaktir. Ve yaptigim, inceleme sonucunda, buldugum deger (3,2,1) yada (3,1,2) dir. Ve buradan, minimum degerin 7 olmasi gerektigi sonucuna ulasiyoruz.

        Yurutulen mantik bu idi; ve ortaya cikan sonuc 7.

        NOT: gerci, bu yurutulen mantik, pek carpici degil; ama en azindan, cozume degisik bir acidan yaklasiliyor burada; yani, esitlik ve esitsizliklerin tespit edilmesi, en kucuk sayilardan baslayarak, bu kosullari saglayan, aranan sayilarin bulunmasi. Eger, cevap 7 degil ise, burada yurutulen mantikta, benim kestiremedigim bir marazlik var demektir. (Yada esitlikleri ve esitsizlikleri olustururken, sistematik hata yapiyor da olabilirim)

        • sahin dedi ki:

          Bir noktayi ilave etmeyi unutmusa benziyorum; o da kontrol edilmesi kontrol listesinde, asagidaki de ilave edilmelidir
          4- k>l and k>m

          cunku, sorunun 2.nci kismina referans aldigimizdan, k tam sayisi, fiyatlar arasinda en buyuk degere sahib olan fiyat olmalidir.

  3. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Bu soruyu farklı bir açıdan düşündüğüm için ilk çözümümde bazı şeyleri gözden kaçırmışım ve hata yapmışım, ilk başta elimizdeki para miktarının 6 olabildiğini düşünmüştüm.

    öncelikle
    aritmetik ortalamanın geometrik ortalamanın büyüklüğünden
    (a+b+c)/3>(abc)^(1/3)
    a+b+c=abc olduğundan
    a+b+c>kök27 çıkar
    yani toplamımız tamsayı ise en az 6 dır.

    bunoktadan sonra en az 1 tane ürünün küsüratlı fiyatlı olması gerektiğini unutup
    a+b+c = abc eşitliğinin a,b,c sayılarının üçgenin içaçılarının tanjantları olması durumunda sağlandığından hareketle en büyüğün 3 en küçüğün de 1 olması gerektiği sonucuna varıp bırakmıştım ama,
    toplam 6 olduğunda herhangi bir ürün tamsayı fiyatlıysa diğer 2 ürünü de tamsayı olmaya zorluyor yani en büyük 3 ise diğerleri 1 ve 2 , en küçük de 1 se diğerleri 2 ve 3 oluyor ki soruda bunun olmaması istenmiş

    yani aslında sorunun 2. ve 3. şıkları 1. şıktan sonra geliyor ama 1. şıkkın cevabını etkilemiş oluyolar :)

    öyleyse a+b+c nin 6 olmayacağını da bulduğumuzu düşünerek artık senin de bulduğun ve doğru cevap olan 7 için çözüm yapmamız gerekiyor.

    a+b+c=7=abc ise
    tamsayı olacak değer için a sayısını seçelim

    b+c=7-a
    bc=7/a

    bu durumda b ve c
    x^2-(7-a)+(7/a)=0 denkleminin kökleri olurlar
    b ve c nin reel olmasından hareketle deltanın sıfırdan büyük olması gerekir
    bu durumda (7-a)^2>4*(7/a)
    bulunur ve burada a için 7 den küçük tamsayılar denendiğinde
    a=1,2,3,4 için bu eşitsizliğin sağlandığını görebiliriz.
    a=4 ve 1 için 2. dereceden denklemimizin kökleri hesaplandığında
    a=4 için b ve c nin 4 ten küçük çıktığı dolayısıyla a nın en büyük olduğu
    a=1 için de b ve c nin 1 den büyük olduğu ve dolayısıyla a nın en küçük olduğu bulunur ki sonuçta
    1. şıkkın cevabı 7 (bunu bulmuştun ve ben 6 olduğunu düşündüğüm için yanlış demiştim)
    2. şıkkın cevabı 4 lira
    3. şıkkın cevabı 1 lira
    olur
    umarım yine bir hata yapmıyorum ve sonuç olarak o kadar uğraşıp soruyu çözdüğün halde yanlış dediğim için özür diliyorum.

  4. pinar.t dedi ki:

    epeydir yazmıyordum ama baktım ki ikiniz de 7’de fena halde karar kıldınız ve muhalif kimse de yok ortalarda, kendimi yazmaya mecbur hissettim.
    öncelikle, bakkala gidip kök 3 liradan bir şey alamayacağımız varsayımıyla ben çözümü rasyonel sayılar içinde aramıştım ve cevabı 9 bulmuştum. ama madem ki sizler irrasyonaliteye geçit verdiniz, o zaman 6 için sonsuz sayıda çözüm vardır derim. MyNameis_HIDIR, neden umudunu kestin ki 6’dan?
    isterseniz uzun uzun açıklayabilirim ama şimdilik çözüme bir örnek vermekle yetineyim:
    3/2, (9+kök17)/4, (9-kök17)/4

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Soruyu yazarken ben de aynen böyle düşünmüştüm ama soruyu kötü ifade ettiğimden malesef 6 cevabı doğru olamıyor.

      normalde soruda sadece 1. şık olsa cevap 6, çünkü 6 lira için çarpımları ve toplamları 6 olan sonsuz çoklukta 3lü bulunabilir. bunu yukardaki yorumlarda da yazdığım gibi “bu türlü sayı grupları bir üçgenin içaçılarının tanjantlarıdır” denkliğinden faydalanarak söyleyebiliriz.

      yukarda not düştüğün sayılar da yaklaşık olarak içaçıları
      73 , 50.5 ve 56.5 derece olan bir üçgene denk gelmekte.

      kısaca toplamları ve çarpımları 6 olması için başlangıçta bi tane değeri belirlememiz yeterli.
      eğer ilk seçtiğimiz değer 0.93 ile 3.31 arasındaysa diğer 2 değerin de pozitif olduğu bir çözüm bulunur.(bu aralıkta değilken de üçgen oluşur ama fiyat negatif olamayacağından sorun yaşarız)

      bu 6 cevabının nerede sorun çıkardığıysa tamamen 2. ve 3. şıktan kaynaklanıyo yani benim hatam. eğer elimizde 6 tane parayla bakkala girip 2. veya 3. şıktaki durumlardan birini sağlatırsak tüm fiyatlar birden tamsayı ve 1-2-3 olmak zorunda kalıyor ki fiyatların hepsinin birden tamsayı olmadığı soruda belirtilmiş.
      sonuç olarak düşündüğümü ifade edemeğimden dolayı soruda istediğimiz sonucu elde edemiyoruz :)
      ——

      bakkaldan kök3 liradan bişey alma konusuna gelirsek böyle bişeyi ben alabileceğimizi düşünüyorum. tek bu ürünü alırsak tabiki ödeme dilimlerimiz olan kuruşlarla sınırlı oluruz ve kök3 lira yerne 1.73 lira öderiz ama eğer toplamda 6 lira ödeyeceksek ürünler teker teker irrasyonel olabilir.

      eğer sorun irrasyonel fiyat oluşturabilecek ölçümlerin nasıl yapılacağıysa bunu da üretic firmanın fiyat/miktar için belirleyeceği uygun değerlerle sağlayabilriiz örneğin;

      bir peynir firması saçma ama 500kök3 grlık (yaklaşık 865 gr) ağırlığa sahip kalıplar halinde peynir üretsin. bunun fiyatını 3 lira olarak belirlediğinde ahmet amca bana ordan tart bakalım yarım kilo peynir dediğimizde doğal olarak fiyatı kök3 lira olur. tek alırsak ödeyemeyiz o ayrı :)

  5. yaziciemre dedi ki:

    Toplamlari ve carpimlari ayni ise;

    1x2x3 = 6 lira dir
    1+2+3 = 6 lira dir.

    ne orjinal bakkal ya:)

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.