Reklam Alanı

Çember Üzerindeki Noktalar

Bu soru 22 Ağustos 2009 tarihinde ZekiAdam tarafından gönderildi

Bir çember üzerinde (farzedelim ki birim çember, r=1) n tane nokta rastgele seçilmiş olsun.

1. Tüm noktaların aynı yarım çember üzerinde olması olasılığı nedir? (herhangi bir büyük n için çözüm yapsanız da olabilir mesela n=10 için)

2. Tüm noktaları üstünde toplamayı garanti edecek en kısa yayın uzunluğu nedir?

Facebook'ta Paylaş

2 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 52 votes, average: 1,00 out of 5 (2 Üye oyladı, Ortalama puan: 1,00)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , ,


“Çember Üzerindeki Noktalar” için 3 Yorum

  1. yuckfou dedi ki:

    Bu sorunun 2. şıkkında aslında tüm noktaları değil de noktaların en az yarısını üstünde toplamayı garanti edecek en kısa yayın uzunluğunu sormayı düşünmüştüm ama kafamın bulanık olduğu bi zamana denk gelmiş böyle sormuşum neyse sağlık olsun uğraşmak isteyen arkadaşlar bu yazdığımı da düşünebilirler.

    3. noktaların en az yarısını üzerinde bulundurmayı garanti edecek en kısa yayın uzunluğu nedir?

  2. yuckfou dedi ki:

    Soruyla kimse ilgilenmediğine göre artık cevabı vermek lazım.

    soruyla kimsenin ilgilenmemesinden hareketle sorunun eksiksiz çözümünü yazmaya gerek duymuyorum.

    ——–
    şimdi bir noktayı seçelim,
    ve çemberi bu noktayı merkez kabul eden 2 yarı çembere bölelim , (birisinin merkezi bu nokta diğeriyse bu noktayı içermeyen kalan parça)
    artık kalan (n-1) noktanın bu noktanın bulunduğu yarıma düşmesi durumu (1/2)^(n-1) dir
    ama ilk seçtiğimiz nokta tek değildir onun gibi n değişik nokta seçilip ayn işlem üzerinde olasılıklar hesaplanabilir
    yan,i bu sayıyı n ile çarpmamız da gerekir.
    sonuç olara n noktanın aynı yarım çember üzerinde olması ihtimali
    n/(2^(n-1)) olur
    örneğin 2 nokta varsa 2/(2^1) = 1 yani %100 aynı yarım çemberdedirler
    ya da 10 nokta varsa 10/(2^9) = 10/512 ~ %2 aynı yarım çember üzerine düşerler
    ——–
    yukarda da açıkladığım gibi bu sorunun gerçek çözümü değildir altının iyice doldurulması gerekir sadece süreklilik ve simetri yüzünden bu sonuç doğru olmaktadır.
    ———–
    sorunun 2. ve 3. şıkları bu çözümden tamamen bağımsızdır, tek yapılması gereken güvercin yuvası prensibinin uygulanmasıdır
    n nokta için öyle aralarındaki uzaklıkların değerine bakarsak;
    en az 1 tanesi vardır ki çemberin çevresi 2pi iken 2pi/n den kısa değildir
    bu da o parça haricindeki kalan yayın tüm noktaları içermesi demek olduğundan
    2pi-(2pi/n) = 2pi*(n-1)/n uzunluğu bulunur
    örneğin n=3 ise 4pi/3 uzunluğundaki bir yay tüm noktaları üzerine toplamaya yeterlidir ve uç değer noktalar bir eşkenar üçgenin köşeleri olduğunda sağlanır.

  3. yuckfou dedi ki:

    şimdi ilk yorumda yazdığım 3. şıkkı (aslında 2. şıkkı hiç sormuycaktım ama arada kaynamış) yani noktaların en az yarısını üzerinde bulundurmayı garanti edecek min. uzunluktaki yayın uzunluğunu bulalım.

    noktaları numaralandıralım herhangi birisini 1. seçip ona 1 nolu nokta ve saat yönünde dönerek sırayla 2,3,…,n diyelim
    ai = (i). nokta ile (i+1) arasındaki uzaklık olsun
    örneğin a1 = 1. nokta ile 2. nokta arası uzaklık
    o zaman çemberin çevresi = 2pi =
    a1+a2+a3+…+an olur (*)
    (sadece an yani sonuncu uzunluk n. nokta ile 1. nokta arası uzaklık olarak tanımlansın)

    a)ilk olarak n çiftken çözelim, n=2k (k tamsayı)
    bu durumda 1. noktadan başlyalım ve her nokta için ondan sonra gelen (k-1) noktanın uzunlukları toplamını hesaplayalım
    1. nokta için a1+a2+…+a(k-1)
    2. nokta için a2+a3+…+a(k)
    3. nokta için a3+a4+…+a(k)+a(k+1)
    .
    .
    k. nokta için ak+a(k+1)+…+a(n-1)
    .
    n. nokta için an+a1+a2+…+a(k-2)
    bunları taraf tarafa topladığımızda
    her terim (k-1) kere gözükeceğinden
    (k-1)*(a1+a2+a3+…+an) olur (*) daki toplamdan bildiğimiz gibi bu da
    (k-1)*2pi olur
    şimdi elimizde toplamları 2pi*(k-1) olan n tane sayımız var bu durumda güvercin yuvası prensibinden biliyoruzki bunlardan en az 1 tanesi
    2pi*(k-1)/n den küçüktür
    b)n tek sayı iken n=2k+1
    her noktadan sonraki k aralığı toplamamız gerekmektedir çünkü artık yayımız (k+1) noktayı içermelidir.
    a şıkkındaki toplamlar yazılıp genel toplam alındığında
    elimizde toplamları k*2pi olan n tane sayımız olur bunlardan en az bi tanesinin 2pi*k/n den küçük olduğunu söyleyebileceğimize göre
    yayımızın uzunluğu 2pi*k/n olur
    —–
    genel anlamda n tekse
    yayın uzunluğu 2pi*(n-1)/2n
    n çiftse 2pi*(n-2)/2n bulunur
    noktalarımız düzgün n genin köşeleri olduklarında eşitlik durumu sağlanır yani bunlardan daha kısa yaylarla kapsayamayacağımız dağılımlar olabilmektedir.

    n=3 olduğunda çember çevresinin 1/3 ü kadar bir yay istediğmizi sağlamaktadır
    n=4 olduğunda da 1/4 ü kadar bir yay.

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.