Reklam Alanı

Boyanmış ve Boyanmamış Küpler

Bu soru 25 Kasım 2009 tarihinde MyNameis_HIDIR tarafından gönderildi

Elimizde küp şeklinde tahtalar var ve hepsini birleştirerek dikdörtgenler prizması şekilli bir yapı oluşturuyoruz. Bu prizmanın bir köşesini seçip buna komşu 3 yüzünü boyayıp prizmayı yeniden kendini oluşturan küplere ayırdığımızda bakıyoruzki küplerin tam yarısına hiç boya değmemiş. Herhangi bir yüzü boyanmış küpleri sobaya atıp yakıyoruz. Şu an elimizde ilk durumdakinin yarısı kadar boyanmamış kübümüz var. Bu elimizdeki kadar daha kübümüz olsaydı önceki prizmamızın aynısı oluşturup aynı işlemi tekrarlayabileceğimiz açıktı.

Sorumuz şu;

Yeni durumda en az kaç tane daha boyanmamış kübümüz olursa aynı işlemi yani yeni bir prizma oluşturup 3 yüzünü boyayıp yeniden prizmayı küplere bölme işlemini tekrarladığımızda aynı sonucu (küplerin yarısına boya değmemiş olması durumunu) elde edebileceğimiz bir prizma oluşturabiliriz?

Facebook'ta Paylaş

11 votes, average: 2,45 out of 511 votes, average: 2,45 out of 511 votes, average: 2,45 out of 511 votes, average: 2,45 out of 511 votes, average: 2,45 out of 5 (11 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,45)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , ,


“Boyanmış ve Boyanmamış Küpler” için 16 Yorum

  1. ZELION dedi ki:

    Küplerimizi 1x1x1 birimlik kabul edelim.

    prizmamizin kenarlarını a, b,c birim diyelim.

    toplam küp sayısı= axbxc olur.

    boyanan alan=(axb)+(axc)+(bxc) olur. bu alandan köşe cizgisindeki küpleri cıkarırsak boyanan küp sayısını buluruz. o da:

    (axb)+(axc)+(bxc) – (a+b+c-2). bunun ayni zamanda boyanmayan kuplerin sayisina esit oldugu veriliyor.

    axbxc =2x((axb)+(axc)+(bxc) – (a+b+c-2))

    excelde birkac deneme yanilmadan sonra bulabildigim a b c degerleri ve sonuclar soyle:

    a=3 b=6 c=11 prizmanin hacmi 198, boyanan kup sayisi 99 boyanmayan sayisi 99, cevap 99.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      3x6x11 lik bir prizmada 3 yüz boyanırsa

      toplam 11*6+3*6+3*11-11-6-3+1=98 tane küp boyanmış kalan 100 küp de boyanmamış oluyo

      yani 3x6x11 lik bir prizma ne yazık ki istenen özelliklerde değil.

      • ZELION dedi ki:

        “3×6×11 lik bir prizmada 3 yüz boyanırsa

        toplam 11*6+3*6+3*11-11-6-3+1=98 tane küp boyanmış kalan 100 küp de boyanmamış oluyo” demissiniz…

        ben, 3 köşenin kesiştigi yerdeki kup 3 kere sayıldıgı icin formülümü (axb)+(axc)+(bxc) ? (a+b+c-2) seklinde kurmustum.

        ve sanırım gercekten de o küp 3 kere sayılıyor. dolayısı ile formül doğru diye düşünüyorum.

  2. ZELION dedi ki:

    Evet sanırım benim formül hatalı. 3 boyutlu çizince gördüm doğru cevap(daha kucuk sayılarla çözümü gözümdem kaçmadıysa)

    a= 3 b=6 c=10

    cevap 90

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Evet bu koşula uyan bir prizmadır ama cevap 90 değildir. soruda tam olarak isteneni elde etmeye çalışırsanız doğru cevabı bulursunuz.

      ya da şöyle söyleyeyim bu şekildeki en küçük prizma istenmiyor. boyalılar atıldıktan sonra en az kaç küp ile yeniden sorudaki koşulları sağlayabilen başka bir prizma oluşturulabilir onu soruyor.

      • ZELION dedi ki:

        Tam olarak dediginizi anlayamadım.

        a= 3 b=6 c=10 durumunda prizma 180 kupten olusur. yarisini yakıyoruz. elimizde 90 tane kalıyor. aynı prizmayı tekrar oluşturmak için 90 küpe ihtıyacımız var….

        ????

      • MyNameis_HIDIR dedi ki:

        Bizden aynı prizmayı yeniden oluşturmamız istenmiyor, aynı koşula uyan (başka boyutlarda da olabilir) bir prizma oluşturmak için en az kaç kübe daha ihtiyacımız olabilir diyor.

  3. ZELION dedi ki:

    Yasim geregi beyin hucrelerimin sayısının ve performanslarının görece azalmasından kaynaklanan bir sorun mu yaşmaktayim? yoksa atladıgım bir konu mu var?

    eger bu ilk prizmayi, hacmini/boyanan/boyanmayan kuplerin sayisini minimumda tutacak sekilde olusturdu isek, küplerin yarısını yaktıktan sonra ayni kosullarda bir prizma olusturmak icin yanan kup sayısınca kup eklemeliyiz ki bu da yine 90 olur??

    ama su an aklıma gelen sey doğru ise sizi tebrik ederim….guzel soru…

    cevap 2 olabilir mi…
    9×9 ve 3×3 luk 2 adet küp(toplam hacim ayni kaldi)….

    bu yeni durumda 92 kup olur… ve umarım bu kupler tanıma uyan bir sekilde konumlandirilabiliyordur(46+46)….

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      asla öyle bişey olduğunu düşünmüyorum bazen hepimize olan “basiret bağlanması” diyelim.

      aşağıdaki yorumda egulderen’in de dediği gibi ilk 3x6x10 ölçülerinde prizma alınıp 90 tanesi boyandıktan sonra kenara ayrılıp yakılırsa kalan 90 taneye sadece 30 tane eklenerek toplam 120 küple 4x5x6 ölçülerinde soruda istenenleri sağlayan bir prizma daha oluşturulabilinir.

      yani cevap 90 olmak zorunda olmaz. ha cevap 30 mu hayır.

      —–

      soruyu yazarken son düşündüğünüz şeyi hiç aklıma getirmemiştim o yüzden o durum için bişey söyleyemiyorum normal kelime oyunsuz, makul bir bölünebilme sorusu diyebiliriz. zaten öyle soruyu okuyanı yanıltmaya çalışan sorulardan da hoşlanmıyorum, sorular çözülmemek için sorulmuyorsa bu tarz şaşırtmacalara da gerek yoktur heralde.

      —–

      sorunun orijinalinde sadece 3 yüzünü boyadığımızda toplam yarısını boyamamızı sağlayan en küçük prizmayı bulunuz diyordu. onun cevabı da alttaki yorumda bulunan 4x5x6 prizması. soruyu bu hale ben getirdim kötü olmuşsa uğraşanlardan özür dilerim. soru dağarcığınıza orijinal halini eklemek istersiniz diye onu da not düşmüş oldum.

  4. egulderen dedi ki:

    Nerden buluyorsunuz bu soruları :) cozumu nasıl merak ediyorum bu tip sorularda…

    cunku 4531 x 3 x 7 adet kupun yarısına 2 kup ekleyerek yeni bir kup bulunma ihtimalinin olmadıgının kanıtlanması lazım cozumde ki ben 2 den buyuk sayıda verilmis cevaplara inanıyım ;)

    ornegin benim cevabım:
    3-6-10 dizilisndeki 180 adet kupun boyanması sonucu tam 90 adet kalır..bu 90 adet kupe 30 adet kup eklenerek;

    4-5-6 diziliminde 120 adet kup bulunur ve uc yuzey boyanınca istendigi gibi tam 60 adet boyanmamıs kup kalır :)

    yani cevabım 30 ama en kucuk oldugunu iddia etmiyorum :)

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Yukarda da yazdığım gibi sorunun orjinali kısa ve net bi şekilde bu birim küplerden oluşan ve aynı köşeye sahip 3 yüzü boyandığında tam olarak küplerin yarısının boyandığı en küçük prizmayı bulmamız istiyordu. sorunun cevabı okuduğum yerde yazmıyordu ben de hem soruyu bu hale değiştirdim (bu halinden memnun olmayanlar orijinalini değerlendirebilirler) hem de kendimce bir çözüm yaptım.

      kısaca bu tür soruları arayıp buluyoruz :)

      çözümü de sandığınız kadar zor değil ve evet dolaylı yoldan da olsa 4531x3x7 şeklinde bir prizmanın bu koşulu sağlamadığı da çözümde gösterilmiş oluyor. zaten bu koşula uyan toplam 5 tane prizma var.

      2 tanesini bulmuşsunuz. ve evet neredeyse soruyu da çözmüşsünüz çünkü 180 tane küple işe başlayıp 90 yerine sadece 30 küple işimizi görebileceğimizi bulmuşsunuz. yine yukarda yazdığım gibi cevap 30 değil ama mantığınız doğru olduğu için soruyu çözdüğünüzü sadece istenen prizmaları bulamadığınızı varsayıyorum.

      bulmanız için de birkaç ipucu vermek istiyorum;

      bu tür bir prizmanın en küçük ayrıtı 5br veya daha büyük olabilir mi?
      bu tür bir prizmanın herhangi bir ayrıtı 2 olabilir mi?

      bu arada son bişey daha söyleyeyim cevap şüpheye yer bırakmayacak kadar küçük :)

  5. suavim dedi ki:

    Elimzdeki kübün kenarlarına a,b,c diyelim ve bu kübün üç kenarını boyadığımızda a,b,c kenarında bir tane eksilmiş yani a-1,b-1,c-1 olur.nedeni boyalı küpler,büyük kübün içinde bir küp ilerlemesi,diger bi değişle kübün korteks(kabuk) bölümü düz bir levhada ibaret değil bir küpten olustuğu için onu boyalı her bir kübü çıkardığımzda kenarlardan 1birim azalmıs olmasıdır.bu soruyu cözmek için kübün alanından gidilmesi yapılacak en büyük yanlıştır.eğer boyalılar atıldığında yarısı kadar kalıyrsa ki kalıyor.2(boyasız küplerin hacmi)=tüm hacim hesaplama işlemine gecersek;
    2(a-1)(b-1)(c-1)=abc
    şeklinde olur biz bu kural içinde 111 ile 999 dilimi içinde çözümü ararsak
    4 adet bu kuralı sağlayan cevap buluruz 259,338,354,672 burdan çarpımları =90,72,60,84 olur.
    not/burda rakamların yerdeğiştirmesinin bir önemi yoktur.hepsinin bir eksiği istenip bu denklemi sağlaması yeterlidir.bizim bulduğumuz sonuçlar yukarıda belirttiğimiz dilimden sağlanmıstır.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Evet bu işleminize katılıyorum her kenardan 1 br eksiltildiğinde kalan hacim ilk hacmin yarısı olmalıdır.

      yalnız bu noktadan sonra sayıları denettirdiğinizde bulduğunuz
      259-338-354 ve 672 sayılarının neyi ifade ettiğini anlayamadım. galiba ilk prizmanın hacim değerleri olarak bulunmuş sayılar. 4x5x6 şekilli bir prizmanın 3 yüzü boyndığında kalan 3x4x5 hacminin ilk hacim olan 120 nin yarısı olmasından hareketle yaptığınız işlemde bu prizmayı belirten bir değer bulamıyorsanız işleminizin hatalı olduğunu söyleyebiliriz. muhtemelen bir yuvarlama hatası olabilir.

      • suavim dedi ki:

        Cvp 259 için -> 2.2.5.9=(2+1).(5+1).(9+1)
        cvp 338 için -> 2.3.3.8=(3+1).(3+1).(8+1)
        cvp 354 için -> 2.3.4.5=(3+1).(4+1).(5+1)
        cvp 672 için -> 2.6.7.2=(6+1).(7+1).(2+1)

        not: baştaki işlemde çarpı 2 sayısı hacimleri eşitlemek için kullanılmıştır.

        • MyNameis_HIDIR dedi ki:

          Pardon ben 354 sayısını görünce onun 3x4x5 lik prizmayı simgeleyeceğini hiç düşünmedim. benim hatam.

          bu durumda siz

          3x6x10=180
          4x4x9=144
          4x5x6=120
          3x7x8=168 prizmalarını bulmuş oluyorsunuz,

          zaten bu koşula uyan 5 prizma var ve işin kötü yanı tam da o 5. prizma ile işe başlayınca soruda istenen işlem gerçekleştiriliyor

          acaba yazdığınız kod bu 4 taneyi bulup o 5. yi neden atladı, gerçekten ilginç. neyse işte az bi zaman daha bekleyelim soru zaten neredeyse çözüldü , sizden cevap gelmezse ben yazmaya çalışırım.

  6. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Sorunun mantığı nasılsa çözüldüğü için (hatta suavim soruyu çözdü diyebiliriz) diğer sorular gibi net bir cevabı olmadan öylece durmasın diye çözümünü de yazmak istiyorum.

    —–

    ilk prizmamızın kenarları a,b, ve c olsun
    genelliği bozmadan en küçük kenarı c seçelim.

    bu durumda soruda verilenlere göre toplam
    axbxc kadar kübümüz vardır ve boyanma sonrası geriye (a-1)x(b-1)x(c-1) dir

    burada 5^3<2*4^3 olduğundan c en fazla 4 olabilir.

    c=3 için
    3ab=2.2.(a-1).(b-1)
    3ab=4ab-4a-4b+4
    ab=4a+4b-4
    ab-4b=4a-4
    b(a-4)=4a-4
    b=(4a-16+12)/(a-4)
    b=4+12/(a-4)
    12 nin bölenlerine bakarsak
    a-4=1 ise a=5 , b=16
    a-4=2 ise a=6 , b=10
    a-4=3 ise a=7 , b=8
    a-4=4 ise a=8 , b=7
    a-4=6 ise a=10 , b=6
    a-4=12 ise a=16 , b=5

    buradan (5x16x3) , (6x10x3) , (7x8x3) pizmaları bulunmuş olur

    benzer şekilde c=4 incelemesi yapılırsa

    (4x9x4) ve (5x6x4) prizmaları bulunur.

    c=2 için bu tür bir prizma aramak yersizdir yani toplamda 5 prizma soruda verilen koşulları sağlayabilir.

    bunlardan

    suavim arkadaşımızın gözden kaçırmış olduğu
    3x5x16 prizması ile işe başladığımızda toplam 240 kübümüz vardır ve boyama işleminden sonra 120 kübümüz kalır.

    bu 120 kübümüzü ise üstüne hiç yeni küp eklemeden sorunun koşullarını sağlayabilen bir diğer prizma olan 4x5x6 prizması olacak şekilde yeniden birleştirebiliriz.

    sonuçta sorunun bu koşullar altında cevabı sıfır olmakta. yukarda bir yorumda da yazdığım gibi her ne kadar cevabın bu olduğunu ispatlamış olsak da sıfır cevabını bulan birisinin bu sayının en az olduğunu göstermeye de ihtiyacı yoktur diye düşünüyorum :)

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.