Reklam Alanı

Bölenleri Yazma – Kim Kazanır?

Bu soru 26 Ekim 2009 tarihinde MyNameis_HIDIR tarafından gönderildi

Kusursuz mantığa sahip 2 arkadaş (Ali ve Bora) şu oyunu oynarlar. Ali’den başlamak üzere önlerindeki tahtaya sırayla şu 2 kurala uygun sayma sayıları yazarlar;

-Üst sınır asla aşılamaz,
-Tahtaya yazılmış herhangi bir sayının hiçbir böleni artık yazılamaz.

Sıra kendisine geldiğinde tahtaya yazılacak sayısı kalmayan oyunu kaybettiğine göre ;

1.Üst sınır 11 ise kim kazanır?

2.Üst sınır 1000 ise kim kazanır?

3.Hangi üst sınırlar için kim kazanır?

Üst sınır 5 olduğunda örnek bir uygulama yapmak gerekirse

Ali: 4 (1 ve 2 artık devre dışıdır)
Bora: 3 ( 5 de yazabilirdi , değişen bişey olmaz)
Ali: 5 .

ve oyunu Ali kazandı çünkü Bora için yazacak sayı kalmadı.

İpucu: Bizler değil, oyunu oynayanlar kusursuz.

Facebook'ta Paylaş

7 votes, average: 2,57 out of 57 votes, average: 2,57 out of 57 votes, average: 2,57 out of 57 votes, average: 2,57 out of 57 votes, average: 2,57 out of 5 (7 Üye oyladı, Ortalama puan: 2,57)
Bu soruya puan verebilmek için üye olmalısınız.
Loading...

Etiketler: , , , , , , , , , , , , , , , ,


“Bölenleri Yazma – Kim Kazanır?” için 24 Yorum

  1. KaLeCi93 dedi ki:

    tüm oyunları Ali kazanır… Çünkü ilk başlayan Ali’dir ve kusursuz mantığa sahip oldukları için tüm ihtimalleri hesaplayabilmektedirler.. yani ilk başlayan hep avantajlı hatta galiptir…

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      güzel bi yaklaşım olmuş ama bu sadece başlangıçta avantajın 1. oyuncuda olduğu oyunlar için geçerlidir. bu yaklaşımın geliştirilmesi, desteklenmesi, altının doldurulması lazım sanki.

      en basitinden bir oyun düşünelim,
      yerde 30 tane boncuk olsun her seferinde her oyuncu ya 1 ya 2 boncuk alsın son boncukları alanın kazandığı bu oyunu her zaman 2. oyuncu 1. oyuncu kaç boncuk aldıysa diğer değerde boncuk alarak kazanabilir. görüldüğü gibi oyunlarda adalet yoktur bazen ne kadar mükemmel mantığa sahip olursanız olun karşınızdaki size kazanma şansı vermeyebilir.
      bu boncuk oyununda da Ali ne kadar mükemmel mantığa sahip olursa olsun Bora akıllıca oynayınca oyunu kazanmaktadır, yani ilk oynamak kazanmaya değil bir nevi kaybetmeye yol açmaktadır.

      sorumuzda geçen oyunda Ali’nin (ya da Bora’nın) kazandığı staratejinin olduğunun gösterilmesi gereklidir. yoksa ilk başlayanın tek avantajı ilk başlayan olmaktır.

  2. patience dedi ki:

    Başlangıçta doğru sayıyı bulup söylerse hep ali kazanır gibi geldi doğru cevabı yazarsanız sevinirim

  3. Haldir dedi ki:

    11 ile başlayan oyunu ali 8 ile başlayıp bora nın sölediği sayıya göre taktik belirleyerek oyunu kazanır . biraz önce uzun uzun anlattım ama web sayfası hata verdi ve yazdıklarım silindi. şuan tekrar yazmaya üşendiğim için gerisini yazmadım.:)
    soruda 1000 sorulduğuna göre bı sorunun bir formulu olmalı. asal sayı sayısıyla ilgili olduğunu düşünüyorum. birde ilk oyuncu kazanmak için 2^n ile başlamalı. ipucu verirseniz sevinirim .. :d

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      ıpucu soruda vermiştim ama 1 tane daha vereyim,

      bu oyunu her üst sınır için oynayan ve her zaman kazanan stratejiyi uygulayan bir bilgisayar programı muhtemelen yazamazdın.

      her zaman en büyük 2^n sayısıyla başlamaya gelirsek de 11 için evet ali 8 ile başlarsa hep kazanıyor ama üst sınır 10 ken 8 ile başlarsa

      ali: 8 (1-2-4-8 elendi)
      bora: 7 (3-6-9 , 5-10 kaldı)
      bu noktada
      ali
      3 derse bora 10
      6 derse bora 5
      9 derse bora 5
      5 derse bora 6 veya 9
      10 derse bora 3

      diyip
      geriye birbirinin böleni lmayan 2 sayı bırakır ve hamle sırası alidedir. ali hangisii söylerse bora diğerini söyleyip oyunu kazanır. kısaca eğer oyunumuzu kazanması gereken kişi ali ise her zaman 2 nin en büyük kuvvetiyle başlaması kazanmasını sağlamayabilir.


      bir ipucu daha sorunun cevabı bu kadar uzun değil :)

  4. asliersin dedi ki:

    Sanki oyunda ilk söyleyen üst sınırın bi eksiğini söyleyip kazanıyor.aslında böyle söylemekte çok doğru değil.ama mantık öyle gibi geldi.çünkü büyük sayılardan başlanırsa karşı tarafın söyleyeceği sayıları azaltmış oluyoruz.ve kazanma olasılığımız artmış oluyor.bazı durumlarda geçerli olmayabilir!!

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      üst sınır 7 olduğunda birinci (yani Ali) 6 derse artık rakibi oyunu kaybetmek istese bile kaybedemez.

      geriye 7,5 ve 4 kalır ki hiçbirisi birbirini etkilemez ve birer birer kullanıldıklarında son sayı Bora’ya kalır, oyunu kazanır.

  5. selcuk dedi ki:

    A şıkkı için burada alinin tek yapması gereken 6 haricinde herhangi bir sayıyı söylemesi ve bundan sonra boranın söylediği rakama göre rakam söyleyerek 5 adet asal sayıdan en son asal sayıyı kendisinin söylemesidir

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Evet üst sınır 11 ken ali oyuna 6 harici bir sayıyla başlarsa kazanıyor sanki

      ———–
      bi not düşmek istiyorum görüldüğü üzere sadece 11 üst sınırı için bile kazanan strateji oldukça karışık.

      sorunun çözülmesi açısından ipuçlarını değerlendirmenizi tavsiye ediyorum. mükemmel mantığa sahip olan bizler değiliz , ali ve bora mükemmel mantığa sahip. bizden 1000 üst sınırı için kazanan bir strateji bulmamız da istenmemekte sadece kim kazanır o sorulmakta :)

  6. Haldir dedi ki:

    Ama bizim kimin kazancağını anlamamız için bir strateji bulmamız lazım ki , ona göre söylediğimiz mantık çerçevesinde birinin kazandığını söleyelim. yani kimin kazancağını anlamak için zaten strateji bulmamız gerekmıyor mu ?(ama siz gerek yok demişşiniz.)

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Neredeyse sorunun cevabını vermiş olcam ama yazmak istiyorum.

      her zaman stratejiyi bulmak gerekmez. bazen stratejinin varlığını göstermek ve bunu kimin uygulayabileceğini göstermek de yeterlidir.

  7. selcuk dedi ki:

    Burada her iki kişide kusursuz mantığa sahip olduklarına göre, burada oyunu hiç kimse kazanamaz. çünkü ali veya bora ikiside kimin kazanıp kimin kaybedeceğini baştan bildikleri için kaybedecek olan kişi bu oyunu zaten hiç oynamaz.

  8. Haldir dedi ki:

    Genel strateji şu olmalı aralarında asal n (n çift olmalı) sayı karşındakine bırakırsan oyunu kazanırsın. oyuna ilk başlayan ali olduğu için bu stratejiye göre davranak önce küçük sayıları bitirmelidir. yani 2 3 gibi sayılar söyleyip aralarında asal sayı bırakmak istemelidir. rakibinin hamlelerine görede kac sayı çıkarcagını belırlemelıdır. bundan ötesinide düşünemedim bu soruda :)

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      şimdi bu strateji uygulanabilir mi önemli olan nokta bu. yani bu stratejiyi kim uygular ve dolayısıyla kazanır?

      yanlış anlaşma olmasın cevap budur demiyorum ama eğer dersen ki bu stratejiyi ali ya da bora şu şekilde uygular o zaman bu cevap olur.

      mesela üst sınır 1000 olduğunda kim kazanır?

      bu oyunda kazanan stratejinin ne olduğunu bilmiyorum, bulunabileceğini de sanmıyorum. sadece konuyla ilgili bir teoremi hatırladığım ifadesiyle not edeyim.

      -2 kişilik sonlu her oyunda oyunculardan birinin hiçbir zaman kaybetmediği (oyunda beraberlik yoksa hep kazandığı) bir strateji vardır.

      yani bu soruda geçen oyunda birinin kazanmasını sağlayan stratejinin var olduğunu biliyoruz. ben sadece bunun kimin tarafından uygulanabileceğini soruyorum. soruyu kese kese kuşa benzettik nerden nereye geldi. şu an cevap için tek cümle yeterli (gerçi taaa soru sorulduğunda da tek cümle yeterliydi)

      yukardaki teorem aslında satrancın da kazanan bir stratejisi olduğunu söylemekte ama bunu hesaplayabilecek yeteneğe sahip değiliz. olsaydık satrancın da tadı kaçardı gerçi ben zaten sevmem satrancı.

  9. Haldir dedi ki:

    Bence bu ucu açık bir soru. eğer bir stratejiyi bilimiyorsan onun kimin yapacağınıda bilimezsin. senin cevabın varsayım üstüne kurulmus olur.
    ayrıca teorem satrancın bir kazanma stratejisi var diyorsa bunu ispatlamalıdır, yoksa bu bir teorem değildir. ortaya atılmış bir iddaa olarak kalır.

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Sorunun her tarafı kapalı, lütfen soruya çamur atmayınız :)

      teoreme gelince sadece hatırladığım kadarıyla yazdım çünkü tarafların birbirlerinin hamlelerinden haberdar olması falan gibi (tümü bu soru için geçerli) bazı koşullar falan da var. tam olarak ne olduğunu ve ne dediğini bi yerlerde görürsem buraya not düşcem onu da.

      ilk önce stratejinin varlığını anlamaya çalışalım.
      her üst sınırı ayrı bir oyun olarak düşünebiliriz ki zaten öyledir. bir üst sınır için hamle sayısı sınırlı ve toplam gerçeleşebilecek değişik oyun sayısı da sınırlıdır. her hamlede boyu kısalan farklı bir hamle oluştuğuna göre (kendimce teoremi ispatlamaya çalışıyorum) geriye doğru ilerlersek sonda sadece 1 tanesinin kazanmasını sağlayan bir hamle vardır. örneğin sona rakibine 3 ve 5 bırakmak gibi. (yani stratejilerin sonlu olmasından dolayı bu olmasa bile buna benzer bir durum muhakakak vardır) bu son durumun olmadığı kalan oyunu artık yeni bir oyun olarak düşünebiliriz ve artık bu oyun daha kısa ve daha az starteji barındıran bir oyun olacaktır ve bu oyunda da son hamlelere kazanmayı garantileyen olarak girecek hamle grupları mevcuttur. aynı mantıkla herhangi bir üst sınır için ilk hamleden itibaren son hamleye kazanan hamle olarak girmeyi sağlayacak bir strateji olduğu (bu hamlenin veya hamleler grubunun ne olduğunu ancak tüm stratejileri ortaya koyabilecek kapasitemiz olduğunda görebilriiz – mükemmel mantık-zeka kavramı bunun için gerekli zaten) kesindir.

      bu stratejiyi herhangi bi noktasından uygulamaya başlayabilen oyunu kazanır.

      yani bu çeşit sonlu oyunlarda kazanan strateji vardır, ve evet satranç sonlu bir oyunsa onun da kazanan bir stratejisi vardır ama bunu beyaz mı siyah mı uygulayabilir ya da bu strateji nedir bilmiyoruz çünkü tüm hamle dizilerini (stratejileri) hesaplayabilecek yeteneğimiz mevcut değil. baştan sona hamle dizilerinin (1. hamleden oyun bitimine) tamamını yazabildiğimizde satrancın başlamadan kazananı belli olacaktır :)

      şimdi biz kendi sorumuza gelelim. stratejinin bilinmemesi bazen satrançta olduğu gibi kimin uygulayabileceğini belirleyememize yol açabilir ama bizim sorumuzda bir strateji varsa kimin uygulayabileceği belirlidir. o da 1. oyuncudur.

      diyelim ki s 1. oyuncu için kazanan bir strateji olsun bu durumda sorun yoktur, yok eğer bu strateji 2. oyuncu için kazanan bir strateji olsaydı 1. oyuncu ilk hamlesinde 1 der ve kendini 2. oyuncu pozisyonuna getirebilirdi çünkü 1 sayısı kendinden başka hiçbir şeyi yoketmekmemektedir ve 1 sayısını sadece 1. oyuncu söyleyebilir.
      yani “üst sınır herhangi bir n sayısıyken 2. nin kazanan stratejisi olsaydı bu 1 ile başlayamazdı ve 1. oyuncu 1 diyerek bunun tersine çevirebilirdi.” bu tek cümle de sorumuzun cevabı zaten :)

      stratejinin varlığının ama bilinmemesinin saçma olmasına gelince ise şöyle bir örnek verebiliriz. bilinen en büyük asal belirlidir ama biz ondan daha büyük asal sayı bulmamış olsak da daha büyüklerinin varlığını biliyoruz. aynı onun gibi bir şeyin varlığını ispat etmek için bulup çıkarıp ortaya koymak gerekli değildir.

      bu kadar uzun yazıp makale tadında bişey ortaya koyamadım ama umarım anlaşılır olmuşumdur.

  10. MyNameis_HIDIR dedi ki:

    Bu teoremin varlığından emin olduğum için ufak bi “google” yaptım ve buldum :)

    zermelo teoremi:

    “2 kişilik, sonlu, beraberliğin bir sonuç olmadığı, tam bilgi içeren (perfect information – oyuncuların sırayla hamle yaptığı ve şansın hamle seçiminde bir faktör olmadığı anlamına geliyor) her oyunda, oyunculardan birinin kazanan bir stratejisi olmak zorundadır.”

    ispatında da ne tesadüftür benim yukarda yazmaya çalıştığım şekilde tümdengelim yöntemini kullanmış. yani en azından wikipediada öyle yazıyo. satrancın da bir oyuncu için her zaman kazanma stratejisi olduğunu göstermiş ama doğal olarak bu stratejiyi bulamamış. oyuna sondan başlayıp başlangıca ulaşmaya çalışmış.

    teorem “iyi sıralama teoremi” olarak da geçiyor. mantık olarak sonlu sayıda seçenek varsa bunlardan birisi en iyisidir gibi bir bilgiden yola çıkıyor yanılmıyorsam.

    neyse ingilizce olarak okumak isteyenler bakabilir ben yukarda anladığımı özetlemeye çalıştım.
    http://en.wikipedia.org/wiki/well-ordering_theorem

    kısaca satranç, dama , go vs tarzı oyunların hepsinin sadece oyunculardan biri için bir kazanan stratejisi vardır. yol yakınken bu stratejiler çözülmeden hepinizi tavla,pişti vb şansın da bir faktör olduğu oyunlar oynamaya davet ediyorum :)

  11. kahvevotka dedi ki:

    MyNameis_HIDIR: “Kazanan strateji” kavramini biraz daha acmak gerekiyor diye dusunuyorum.

    Soru oldukca guzel, yanit da oldukca basit ve basarili olmus ben bir kac konuda bir iki sey eklemek istiyorum

    Su yukaridaki boncuk oyunu icin:
    Bu basit kurallarin oyunculara garantiledikleri kimi durumlar var.
    – Birinci oyuncu her durumda oyunun istedigi her noktasinda 1(mod 3) ya da 2(mod 3) seklinde rakamlar yaratabilmeyi oyunun kurali ile garantilemis oluyor.
    – Ikinci oyuncu ise oyunun istedigi her noktasinda 0(mod 3) seklinde bir rakam yaratabilmeyi garanti etmis oluyor.(1. oyuncunun 1 oynadigi durumda 1(mod 3) ve 2 oynadigi durumda da 2(mod 3) yaratamiyor)

    Bu durumda yerdeki boncuk sayilari n olmak uzere n=1(mod 3) ya da n=2(mod3) ise 1. oyuncu; n=0(mod 3) ise 2. oyuncu oyunun daha basinda oyunu kazanmayi garantilemis oluyor. Yani boncuk sayisi 3 ve 3’un katlari ise 2. oyuncu degilse 1. oyuncu kazaniyor.

    – – – – – – – –

    Bir de yukari da

    “stratejinin varlığının ama bilinmemesinin saçma olmasına gelince ise şöyle bir örnek verebiliriz. bilinen en büyük asal belirlidir ama biz ondan daha büyük asal sayı bulmamış olsak da daha büyüklerinin varlığını biliyoruz. aynı onun gibi bir şeyin varlığını ispat etmek için bulup çıkarıp ortaya koymak gerekli değildir” demissin. Bizim orada bildigimiz tek sey asal sayilarin sonsuz oldugu bu yuzden “en buyuk asal sayi” nin bilinen bilinmeyen bir taniminin olmadigini biliyoruz :) bu yuzden “bilinen en buyuk asal sayi” manasiz bir tumce oluyor karsiligi olmayan bir tumce. kavramsal bir sey ama duzeltebilecek baska bir sey bulamadim napim :))

    • MyNameis_HIDIR dedi ki:

      Anladığım kadarıyla bilinen en büyük asal sayı diye bişeyin saçma olduğunu söylemeye çalıştın ama bilinen en büyük asal sayı diye bişey var adı üstünde “bilinen” :)

      koca koca adamlar yıllarını buna harcayıp şu ana kadar asallığı ispatlanmış en büyük sayıdan daha büyük bir asal sayı bulmak için uğraşıyorlar. yani “bilinen en büyük asal sayı” tanımı çok da manasız kalmıyor.

      bugün için bilinen en büyük asal sayı bellidir yarın da belli olacaktır ama bu 2 sayı birbirine eşit olmayabilir.
      —–
      kazanan strateji hakkında söylediklerine katılıyorum, ama onu da sadece bir örnek vermek için söylemiştim yani illa oyuna başlayan kazanacak diye bi kural yok, yukarda wikipediaya link vererek yazdığım teorem de zaten bunu diyor biri muhakkak kazanır ama bunun hangisi olduğu oyunun kurallarına, koşullara vs göre değişir.

      • kahvevotka dedi ki:

        Hmm, su asal sayi konusuna bir bakalim:

        – asal sayilarin sonsuzlugunun hatirladigim cok sade bir ispati var: (olmayana ergi yontemini kullaniyor)
        – – asal sayilarin sonlu olduklari on kabulu ile baslayalim. bu sonlu sayidaki asal sayilari n kumesi icerisinde toplamis olalim.
        – – n kumesi icerisindeki tum asal sayilari birbiriyle carpip sonuca bir eklersek buldugumuz yeni sayi da bir asal sayi olur (asal carpanlarina ayirmak istersek, tanimli asal sayilardan hicbiri ile tam bolunemedigi hep 1 kalanini verdigi icin)
        – – buldugumuz yeni asal sayi n kumesi icerisinde yoktur. yani bir celiski yakaladik.

        sonuc: asal sayilar, icerisinde sonlu eleman olan bir kume icerisinde gosterilemez, yani sonsuzdur :)

        simdi o koca koca adamlar ufak bir bilgisayar progami ile yukaridaki algoritma uzerinden gidiyorlarsa yani “bilinen asal sayilari birbiri ile carp ve bir ekle sonra bunu da diger tum asallarla carp yine bir ekle” hic durmadan devamli yeni ve bir oncekinden daha buyuk bir asal sayi kesfederler :)) yani yillarini buna harciyorlarsa, uzulurum :))

        • kahvevotka dedi ki:

          Hmmm, soylediklerim benim aklimda bir soru isareti yaratti acikcasi:

          soyle ki bilinen tum asallari bir kumede topladik bu kumenin ismi n en buyuk elemani olan asal sayi da x olsun; kumedeki tum asallari carpip 1 ekledigimiz sayi y olsun.

          y sayisi n kumesindeki hicbir elemana tam olarak bolunemez ama y sayisi ile x sayisi arasinda baska bir asal sayi bulunuyor ve y sayisi da ona tam bolunuyor olabilir mi acaba ?

          hmm, y sayisinin asal oldugundan emin degiliz sadece n kumesi icerisindekiler haricinde en az bir tane asal carpana ihtiyaci oldugunu biliyoruz.

          koca koca adamlara sevgilerimi gonderiyorum :) calismaya devam :))

          • MyNameis_HIDIR dedi ki:

            Evet senin de farkettiğin gibi bu şekilde sadece elde edilen sayının elimizdeki asal sayılardan farklı bir asal sayı böleni (belki kendisi) olduğu sonucuna ulaşılır. eğer bildiğimiz en büyük asal sayıya kadarki tüm asalları bilseydik bu şekilde elde ettiğimiz sayı ile daha büyük bir asal sayıyı kesinlikle bulurduk ama sorun şu ki bilinen en büyük asal sayıya kadarki tüm asal sayılar bilinmiyor :)
            bir sorun da eldeki tüm asal sayıları çarpmanın güçlüğü.

            bu yüzden tam emin değilim ama bazı algoritmalar sonucu belli yapıya sahip sayıların asal olma ihtimalinin daha yüksek olduğu bilindiğinden (ne bileyim örneğin 12^n+7 mesela) o tür sayılar seçilip direk onların asal olup olmadığı denetleniyor olması lazım.

  12. kahvevotka dedi ki:

    Yoksa yamuluyor muyum ?

Cevap yazın

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız.