“4 Farklı Ağırlık” üzerine 7 düşünce

    1. Malesef soru eksik değil , hatta soruda fazla bilgi bile verilmiş (ağırlıkların farklı olduğunu söylemesine gerek yok) diyebiliriz. verilen bilgiler ışığında cevap 1-3-9-27 bulunur ve hatta bu sayılardan başka hiçbir sayı 4 lüsünün bu koşulları sağlamayacağı da gösterilebilir.

      ————————-
      a,b,c,d ağırlıklarımız olsun

      bunlardan 2 tanesini seçelim, genelliği bozmadan a ve b diyelim

      bunlarla oluşabilecek ağırlıklar en fazla
      (a) , (b) , (a+b) , (a-b) olmak üzere 4 tanedir
      şimdi bi sayı daha seçip bunlarla kombine edelim, yeniden genelliği bozmadan c olsun bu sayımız
      c ağırlığı
      ya terazinin pozitif kefesine konur + değer alır, max 4 durum
      ya hiç konmaz 0 değer alır , max 4 durum
      ya – kefesine konur negatif değer alır , max 4 durum
      ya da tek başına yerleştirilir c değerini alır, tek durum

      3 ağırlıkla max. 13 durumu kapatabiliyoruz.
      benzer şekilde kalan son ağırlığı da eklersek
      +,0,- olarak 13*3 = 39 değer ve tek başına 1 değer toplam 40 değerden fazla değer oluşamaz. oluşan bu değerlerden hiçbiri aynı olmamalıdır yoksa 1 den 40 a kadarki 40 sayı kapsanamaz.
      (a,b,c,d nin herbirinin tek sayı olması gerektiği de yukardaki yolla gösterilebilir)

      şimdi bu yukarda anlatılan yolla oluşan 40 sayı 1 den 40 a kadar sayıya denk geldiğine göre bu sayılardan en büyüğü olan a+b+c+d 40 olmalıdır.
      aynı şekilde a,b,c,d nin herbiri de birbirinden farklı olmalıdır çünkü aynı olan olsaydı yukarda oluşan sayılardan bazıları aynı olacaktı.
      bu noktadan itibaren bu sayıları genelliği bozmadan
      a<b<c<d olarak sıralayabiliriz.
      bu durumda
      ***
      39 toplamını nasıl elde edebileceğimizi düşünelim.
      eğer b+c+d = 39 dışında herhangi bir kombinasyon olabilseydi
      a nın en küçük olmasıyla ya da a+b+c+d nin 40 olmasıyla çelişirdik. yani bu sayıların en küçüğü a ise o 1 olmalıdır.
      benzer şekilde
      b+c+d-a = 38 olacağından
      37 nin nasıl elde edileceğini düşündüğümüzde b nin 3 olması gerektiğine ve benzer şekilde
      c+d-a-b =32 olduğundan 31 in nasıl elde edileceğini düşündüğümüzde de c nin 9 olması gerektiği ve d nin de 27 olması gerektiği bulunabilir.

      (***) dan sonra şöyle bir yol da izlenebilir
      bu sayıları a<b<c2a veya b>=2a+1 diyelim
      b nin min değeri 2a+1 olduğuna göre benzer şekilde a ve b ikilisi için range 2*(a+b) = 2*(a+2a+1)=6a+2 dir
      demekki c en az 6a+3 olmalıdır.
      benzer şekilde de d en az
      2*(a+2a+1+6a+3)+1 =18a+9 olmalıdır
      40=a+b+c+d >= a+(2a+1)+(6a+3)+(18a+9) = 27a+13
      olduğundan
      a<=1 çıkar a=0 olamayacağına göre a=1 dir , ve diğer sayılarımız da 3,9,27 olarak bu eşitsizliğin eşitlik olduğu durumdan çözülür.
      ————–
      kısaca 4 tane ağırlık ile 1 den 40 kadar tüm ağırlıklar ancak tek şekilde ve yukarda bazı arkadaşların bulduğu gibi (1,3,9,27) grubuyla kaplanabilir.

      eğer ölçülmesi gereken sayı grubu küçültülürse örneğin 1 den 30 a kadar ağırlıklar 4 değişk ağırlıkla tartılacaksa bunun çözümleri çok çeşitlidir örnek vermek gerekirse (1,3,9,17)(2,3,9,27) (1,3,9,27) bunu sağlayacak birçok gruptan yalnızca 3 üdür diyebilirim.

        1. :s bence bu wordpresste bir sorun var

          son kez yeniden yazıyorum
          sıralama yapıldığında a nın toplam üzerinde etkisi 2a büyüklüğündedir. eğer b bu değerden büyük olmazsa yukarda hesaplana 40 değerden en az 2 tanesi çakışır. b>2a dersek b en az 2a+1 olur

          gerisi çıkmış zaten

Bir cevap yazın